Simplificar $ \frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}+\frac{2x}{x^2+y^2}+\frac{4x^3}{x^4+y^4}+\frac{8x^7}{x^8+y^8}+\frac{16x^{15}}{x^{16}+y^{16}} $

Question

Favor de ayudarme a encontrar la suma

$$ \frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}+\frac{2x}{x^2+y^2}+\frac{4x^3}{x^4+y^4}+\frac{8x^7}{x^8+y^8}+\frac{16x^{15}}{x^{16}+y^{16}} $$

Answer 1

$$ \frac1{x-y} + \frac1{x+y} = \frac{2x}{x^2-y^2}$$

Procediendo de esta manera estaríamos a la izquierda con

$$ \text{The sum } = \frac{16x^{15}}{x^{16}-y^{16}} + \frac{16x^{15}}{x^{16}+y^{16}} = \frac{32x^{31}}{x^{32}-y^{32}} $$

Answer 2

La adición de los términos juntos, usted debe conseguir: $$ \sum_{\text{todos}} = \frac{(32 x^{31})}{(x^{32}-y^{32})} $$ Este resultado se obtiene mediante el uso de la pantalla LCD (Mínimo Común Denominador).

LCD: $$ (x-y) (x+y) (x^2+y^2) (x^4+y^4) (x^8+y^8) (x^{16}+y^{16}) =\\ (x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4) (x^8+y^8) (x^{16}+y^{16})=\\ (x^4-y^4)(x^4+y^4)(x^8+y^8) (x^{16}+y^{16})=\\ (x^8-y^8)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})=\\ (x^{16}-y^{16})(x^{16}+y^{16})=\\ (x^{32}-y^{32}) =\\ \text{LCD(pantalla de cristal líquido(LCD(pantalla de cristal líquido(LCD( $x-y$, $x+y$), $x^2+y^2$), $x^4+y^4$), $x^8 + y^8$), $x^{16}+y^{16}$)} $$

Nota

Sería preferible mover de izquierda a derecha, la simplificación de los pares adiciones. He incluido la pantalla de modo que usted puede ver el patrón general en los denominadores a medida que avances en la simplificación de izquierda a derecha.

Answer 3

Están organizados bastante bien. Proceder de izquierda a derecha y seguir usando la fórmula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ a reescribir los dos términos que usted está a punto de añadir con un (unfactored) denominador. Obtendrás una buena cantidad de aditivo cancelación en los numeradores, por lo que no será todo lo que desordenado en cualquier etapa.

Answer 4

$$ \left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}\right)+\frac{2x}{x^2+y^2}\right)+\frac{4x^3}{x^4+y^4}\right)+\frac{8x^7}{x^8+y^8}\right)+\frac{16x^{15}}{x^{16}+y^{16}}\right) $$