¿Es posible que la derivada de una función exista en un punto pero que la derivada no exista en la vecindad de ese punto?
Si esto ocurre, ¿cómo es posible? Creo que si la derivada existe en un punto entonces la derivada de la izquierda es igual a la derivada de la derecha por lo que la derivada debe existir en la vecindad de ese punto.
Lo que tenía en mente era estof(x) = \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}} & x \ne0 \\ 0 & x=0 \end{cases}
¿Diría usted que la derivada es continua en $x=0$ . En realidad esto es lo que quiero entender. Incluso en el Cálculo de Spivak dice que la derivada de esta función no es continua. Entonces, si la derivada a la izquierda y a la derecha no existen, ¿cómo podemos decir que esa derivada existe en el punto
@PankajSinha La derivada de la función que tienes viene dada por $$ f'(x) = \begin{cases} 2 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-\cos \left(\frac{1}{x}\right)&\mbox{if } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{if } x=0, \end{cases} $$ que no es continua en $0$ . ¡Sabemos que la derivada existe por la definición! Para $x \neq 0$ su función se "comporta bien" por lo que podemos aplicar la regla del producto; en $x=0$ podemos deducirlo a través de los primeros principios. Por lo tanto, $f'$ está definida en todas partes, pero no tiene por qué ser continua.
Esto no es exactamente una respuesta a su pregunta, pero creo que la fuente de su confusión es que pareces creer que los derivados de la mano izquierda/derecha $$f'_\pm(a)=\lim_{h\to 0^\pm} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ son lo mismo que los límites izquierdo/derecho de la derivada $$\lim_{h\to 0^\pm} f'(a+h).$$ Coinciden en casos sencillos, pero no en general. Por ejemplo si $$f(x)=\begin{cases}1,&x \ge 0 \\ 0,&x < 0\end{cases}$$ entonces $f'(x)=0$ para todos $x\neq 0$ Así que $\lim_{x\to 0^\pm} f'(x)=0$ , pero $f'(0)$ no existe (ya que $f$ es discontinuo en $x=0$ ). Más precisamente, la derivada de la mano derecha $f'_+(0)$ es cero, pero la derivada de la mano izquierda ${f}'_{-}(0)$ es indefinido.
Gracias Hans Lundmark. Pero puedes explicar con respecto al ejemplo que he citado f(x)= \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}} & x \ne0 \\ 0 & x=0 \end{cases}
Sí, es posible. Considere la función
$$f(x) = x^2 W(x)$$
donde $W$ es el Función de Weierstrass . En $x=0$ la derivada es $0$ pero si fuera diferenciable en cualquier otro lugar, entonces $W$ también sería diferenciable.
¿Cómo se puede aplicar la regla del producto a $f$ ? ¿No se produciría $2xW(x)+x^2W^{\prime}(x)$ ? Pero no hay $W^{\prime}(x)$ porque $W$ no es diferenciable en ninguna parte.
¿Estoy en lo cierto al pensar que para demostrar su afirmación es necesario aplicar el teorema de la compresión? Estaría bien ver cómo se resuelve.
Usted pregunta sobre existencia de una derivada en un solo punto, pero en el título dice continuidad .
En cuanto a la existencia, un derivado $f'(a)$ de una función real $f(x)$ en el punto $x=a$ se define como un límite $$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}h$$ La existencia (y el valor) del límite determina una derivada en el punto elegido, independiente sobre la existencia del límite en cualquier vecindad de $a$ . Como demuestran otros, existen funciones que son diferenciables en un solo punto.
Sin embargo, si se pide continuidad, se requiere que la derivada esté definida (exista) en alguna vecindad de $a$ para que exista un límite de la derivada: $$\lim_{x\to a}f'(x)$$ Entonces puede preguntar si un derivado es continua en $a$ . Y hay funciones (ejemplos dados en otras respuestas) con una derivada discontinua en algún punto, aunque existente en una vecindad de ese punto.
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