Intersección de conjuntos algebraicos no iguales a $\{0\}$ ?

Question

Esperaba hacer un pequeño seguimiento de la pregunta que hice aquí .

Supongamos que $V$ es una variedad algebraica sobre un campo arbitrario $k$ . (Para esta situación, tomaré la definición $\dim\ V=\deg_k(k(x))$ , donde $(x)=(x_1,\dots,x_n)\in V$ es un punto genérico, y por $\deg$ Me refiero al grado de trascendencia). Como siempre, $V(f_1,\dots,f_s)$ es el conjunto de ceros de las formas homogéneas $f_1,\dots,f_s$ en el espacio afín.

Ahora digamos que tomas $U$ para ser un conjunto algebraico $x_1=\cdots=x_p=0$ (así que $U$ es el conjunto algebraico con el ideal asociado $(x_1,\dots,x_p)$ ) que es el conjunto algebraico de coordenadas en $\mathbb{A}^n$ donde la primera $p$ las coordenadas son $0$ y donde $p<\dim\ V$ . ¿Es ahora el caso de que $U\cap V\neq\{0\}$ ? Muchas gracias.

Answer 1

Respuesta: No.

Considere $k=\mathbb{R}$ y $f(x_1,x_2,x_3):=x_1^2-x_2^2-x_3^2$ . Entonces $V:=V((f))\subset\mathbb{A}^3_\mathbb{R}$ es un doble cono, donde la singularidad se sitúa en $(0,0,0)$ . En particular $\dim (V)=2$ .

El avión $U$ definido por $x_1=0$ se cruza con $V$ precisamente en $(0,0,0)$ .

Answer 2

Supongo que quieres saber si $U \cap V$ puede ser mayor que un punto, o un conjunto finito de puntos...

En general, como dijo Hagen, es falso pero es cierto cuando $k$ es algebraicamente cerrado. De hecho, en este caso, se tiene un teorema de intersección que dice que si $V$ y $W$ son dos conjuntos afines irreducibles en $k^n$ con $\dim V = r$ y $\dim W=s$ entonces cada componente irreducible de $V \cap W$ tiene dimensión $\geq r + s - n$ . Esto significa que en su caso, si $V \cap U$ es no vacía, su dimensión es necesariamente $\geq 1$ y contiene entonces más de un conjunto finito de puntos.