Cuán suave es una función suave?

Question

Digamos que una función suave es una $\mathcal{C}^\infty$ función en $\mathbb{R}$. Algunas de las funciones lisas no son analíticos, el ejemplo más notorio de ser la protuberancia funciones. Un no-analíticos $\mathcal{C}^\infty$ función parece (formalmente al menos) menos "suave" que una analítica de la función, pero me pregunto cómo se puede cuantificar este. Mirando derivability no nos dan nada (ya que un $\mathcal{C}^\infty$ es, $\mathcal{C}^\infty$), y mirando el radio de convergencia de la serie de Taylor no nos da nada que no sepamos ya.

Así que, ¿qué pasa si nos fijamos en la transformada de Fourier? Este es un clásico de la estrategia: para cuantificar la suavidad de una función, cuantificar la integrabilidad o el decaimiento de su transformada de Fourier. Supongamos que trabajamos en Scwhartz espacio de $\mathcal{S} (\mathbb{R})$. Entonces:

• Para cualquier $f$ $\mathcal{S} (\mathbb{R})$ si $\hat{f} (x) =_{\pm \infty} O (e^{-|x|^{1+\varepsilon}})$ algunos $\varepsilon > 0$, $f$ es analítica (no estoy cien por ciento seguro - no he probado con total rigor, pero parece bastante seguro).
• Para todos los $\varepsilon > 0$, existe un bache función de $f$ tal que $\hat{f} (x)$ tiene una magnitud de aproximadamente(*) $e^{-|x|^{1-\varepsilon}}$ de las grandes suficientemente $|x|$ (de nuevo, no estoy completamente seguro, pero creo que esto es lo que se dice en http://math.mit.edu/~stevenj/bump-silla de montar.pdf).

Así que tengo dos preguntas:

• Hay funciones analíticas $f$ $\mathcal{S} (\mathbb{R})$ tal que $\hat{f} (x)$ tiene una magnitud de aproximadamente el $e^{-|x|^{1-\varepsilon}}$ algunos $\varepsilon > 0$ ? Si es que donde no es el caso, y siempre lo he dicho antes es cierto, entonces tenemos que saber que las funciones cuya transformada de Fourier es de orden $e^{-|x|^{1-\varepsilon}}$ $\mathcal{C}^\infty$ pero no analítica, y que las funciones cuya transformada de Fourier es de orden $e^{-|x|^{1+\varepsilon}}$ son analíticas.

• ¿Qué acerca de los intermedios de las tasas de crecimiento, por ejemplo, cuando $\hat{f} (x)$ tiene una magnitud de aproximadamente el $e^{-C|x|}$?

Por supuesto, más preciso criterio o cualquier otra referencia es bienvenido.

---

(*) Para ser más precisos : $\limsup_{x \to \pm \infty} \frac{-\ln |\hat{f} (x)|}{|x|^{1-\varepsilon}} = 1$.

Answer 1

Usted puede estar interesado en el Paley-Wiener Teorema y sus diversas generalizaciones. Una buena referencia es Hormander del Análisis de los Lineales en derivadas Parciales Operadores.

Entre los diversos resultados son:

Teorema Deje $f\in L^2(\mathbb{R})$. A continuación, $e^{b|x|}f\in L^2$ todos los $0 < a < b$ fib $\hat{f}$ ha continuación analítica a la franja de $|\Im(z)| < b$ $\mathbb{C}$ y que para todos los $0 < a < b$, $$ \sup_{|\eta| < a} \| \hat{f}(\cdot + i\eta)\|_{L^2(\mathbb{R})} < \infty$$

Así, en particular, usted tiene que un tipo exponencial de decaimiento $~e^{-C|x|}$ es suficiente para garantizar que la transformada de Fourier es real analítica.

Este teorema también implica que si hubo una analítica de la función cuya transformada de Fourier no decae mejor que $\exp(-|x|^{1-\epsilon})$, no puede ser analíticamente extendido a cualquier franja. Es decir, el radio de convergencia de su expansión de Taylor alrededor del punto de base $x_0$ debe ir a $0$$|x_0|\to \infty$.

---

Otra buena referencia es Krantz y Parques, Un manual de la Real de la Analítica de las Funciones, capítulo 5.