$f$ es integrable, sino $f$ no tiene ningún integral indefinida

Question

Vamos $$f(x)=\cases{0,& $x\ne0$\cr 1, &$x=0.$}$$

A continuación, $f$ es claramente integrable, pero no tiene antiderivada (primitivo), al menos en el todo el dominio de $f$, ya que cualquier antiderivada de la función en $\mathbb R$ tendría que tomar en valores constantes en cada lado de la $0$ y también tiene pendiente $1$ $0$ -- una imposibilidad.

Así que mi pregunta es, ¿esto significa que la integral indefinida de $f$ ¿ no existen?

EDITAR

Mi comprensión de la integral indefinida de $f$ es que es la familia de todos los posibles antiderivatives de $f$. Así, por ejemplo, en $[2,3]$, la antiderivada de $f$ existe; sin embargo, $f$ no tiene una integral indefinida (como la integral indefinida conceptualmente requiere la antiderivada de la función definida en todo el dominio). Es esto correcto?

Answer 1

Esta es una cuestión de definiciones. Generalmente una antiderivada de una función de $f$ es cualquier función cuya derivada es $f$. La integral indefinida generalmente denota el conjunto de todos los antiderivatives.

Desde cada derivado satisface los valores intermedios de la propiedad, su función $f$ no puede ser un derivado y, por tanto, no tiene la integral indefinida.

Una cosa diferente es la integral de la función que podría ser definido como una función de $F$ tal que $$ \int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a). $$ Esta existe para todas las funciones integrables.

El teorema fundamental del Cálculo establece que los dos conceptos de acuerdo para funciones continuas.

Answer 2

Sólo para complementar Emanuele la respuesta. Si $ I $ es un subconjunto abierto de $ \mathbb{R} $, a continuación, algunos matemáticos definir la integral indefinida de una función de $ f: I \to \mathbb{R} $ como sigue: $$ \int f ~ d{x} \stackrel{\text{def}}{=} \{ g \in {D^{1}}(I) ~|~ f = g' \}. $$ Por lo tanto, tomando la integral indefinida de $ f $ los rendimientos de una familia de antiderivatives de $ f $. Si $ f $ no tiene antiderivada, entonces, de acuerdo a la definición anterior, tenemos $$ \int f ~ d{x} = \varnothing. $$