Búsqueda de los ideales en un anillo de fracciones

Question

Estoy tratando con el anillo de $$R=\left\{\frac{a}{b} \mid a,b\in\mathbb{Z}\mbox{, $b$ is not divisible by 3}\right\}$$ with addition and multiplication as defined in $\mathbb{Q}$ y estoy tratando de encontrar todos los ideales del anillo.

Mi idea inicial es encontrar todos los aditivos de los subgrupos de $(R,+)$, pero estoy teniendo problemas de razonamiento a través de este paso. No estoy seguro de cómo clasificar a todos los subgrupos, a continuación, para demostrar que estos son todos los subgrupos.

Un empujoncito en la dirección correcta sería muy apreciada! ~Dom

Answer 1

Sugerencias:

1) Mostrar el conjunto de $\,M:=\{r\in R\;\;;\;r\,\,\,\text{is not invertible}\}$ es un ideal en el $\,R\,$

2) Deducir $\,M\,$ es un ideal maximal (y, de hecho, el único ideal maximal) de $\,R\,$

Su anillo de $\,R\,$ es lo que se llama un anillo local , un lugar importante de la clase de los anillos en álgebra conmutativa y algunos otros matemáticos reinos. Esta es, aparentemente, lo que BenjaLim estaba apuntando en su comentario, como local, las cosas aparecen como localizaciones wrt primer ideales en algunos anillos...

Answer 2

Paso 1: Vamos a $I$ un ideal en $R$. Mostrar que $\mathfrak{i} = I \cap \mathbb{Z}$ es un ideal de a $\mathbb{Z}$ y $I = \{ \frac{i}{s} \ | \ i \in \mathfrak{i}, s \in \mathbb{Z}^+, \ 3 \nmid s \}$. Deducir que si $\mathfrak{i} = n \mathbb{Z}$,$I = n R$. Por lo tanto todos los ideales de a $R$ son principales y generado por los elementos de a $\mathbb{Z}$.

Paso 2: averiguar para que $m,n \in \mathbb{Z}^+$ tenemos $m R = nR$. La respuesta dada por las Matemáticas Gemas es relevante aquí.

Comentario: $\S 7.2$ de estas notas contiene una discusión más general a lo largo de estas líneas. Esto equivale a la búsqueda de los ideales en una localización, como Benjalim mencionado.

Answer 3

Sugerencia $\ $ Cada prime $\rm\:p \ne 3\:$ pasa a ser una unidad en $\rm\,R\,$ desde $\rm\:1/p\in R.\:$, Pero el primer $\rm\,p = 3\,$ no es una unidad en $\rm\,R\,$ desde $\rm\,1/3\not\in R.\:$ por lo tanto $\rm\ (n) = (2^a 3^b 5^c\cdots) = (3^b)\:$ $\rm\,R,\,$ $\rm\,3\nmid 1\:\Rightarrow\:3^b\nmid 1.$