Por favor me ayude a encontrar una forma cerrada para la suma $\sum_ {n = 1} ^ \infty\frac {(-1) ^ n n ^ 4 H_n} {2 ^ n}, $ donde $ $H_n son números armónicos: $$H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{\Gamma'(n+1)} {n}! + \gamma.$$
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$$ \sum_ {n = 1} ^ \infty\frac {(-1) ^ n n ^ 4 H_n} {2 ^ n} = \frac {28} {243} + \frac {10}{81} \log \left(\frac{2}{3}\right). $$
Sugerencia: Cambiar el orden de adición: $$ \sum_ {n = 1} ^ \infty\frac {(-1) ^ n n ^ 4 H_n} {2 ^ n} = \sum_ {n = 1} ^ \infty\sum_ {k = 1} ^ n\frac {(-1) ^ n n ^ 4} {2 ^ k n} = \sum_ {k = 1} ^ \infty\sum_ {n = k} ^ \infty\frac {(-1) ^ n n ^ 4} {2 ^ k n}. $$
Mhenni Benghorbal
Puntos
1
Un problema relacionado. Aquí es otro enfoque. Recordando la generación de la función de la serie de los números
$$ \sum_{n=1}^{\infty} H_n x^n = \frac{\ln(1-x)}{x-1} \implica (xD)^4\sum_{n=1}^{\infty} H_n x^n=(xD)^4 \frac{\ln(1-x)}{x-1}, $$
$$ \implica \sum_{n=1}^{\infty} H_n n^4 x^n = {\frac {x \left( 1+11\,x+11\,{x}^{2}+{x}^{3} \right) \ln \left( 1-x \right) }{ \left( -1+x \right) ^{5}}}+{\frac {x \left( -1-27\,{x}^{2} -18\,x-4\,{x}^{3} \right) }{ \left( -1+x \right) ^{5}}}.$$
La sustitución de $x=-\frac{1}{2}$ en el por encima de identidad da el resultado deseado
$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n n^4 H_n}{2^n}={\frac {28}{243}}-{\frac {10}{81}}\,\ln \left( \frac{3}{2} \right). $$
Amr
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12840
Sugerencia: $f_k=H_k$ y encontrar una función $g_k$ tales que $g_{k+1}-g_k=\frac{(-1)^kk^4}{2^k}$ y el uso de la sumación por partes para obtener: $$\sum_{k=1}^nf_k(g_{k+1}-g_k)=f_{n+1}g_{n+1}-f_1g_1-\sum_{k=1}^n(f_{k+1}-f_k)g_{k+1}$$ $$\sum_{k=1}^nH_k(\frac{(-1)^kk^4}{2^k})=f_{n+1}g_{n+1}-f_1g_1-\sum_{k=1}^n(\frac{1}{k+1})g_{k+1}$$ Encontrar el límite de $n\rightarrow \infty$. $g_k$ será una función de la forma $(\frac{-1}{2})^kp(k)+C$ para algún polinomio $p$ y constante $C$. Por lo tanto, creo que la CARTA va a ser una suma de la forma: $$\sum_{k=1}^{\infty}[(\frac{-1}{2})^kp(k)+C]\frac{1}{k+1}$$ que va a ser tedioso para evaluar.
