Sé que un conjunto infinito puede dividirse en 2 subconjuntos infinitos.
¿Se puede dividir un conjunto infinito en un número finito de subconjuntos infinitos?
Gracias
Bien, gracias Andreas.
Respuestas
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DanV
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Por supuesto. Lo hacemos por inducción.
Teorema: Si $A$ es un conjunto infinito y $n>0$ es un número natural, entonces podemos escribir $A$ como una unión disjunta de $n$ conjuntos infinitos.
Prueba. Para $n=1$ esto es obvio, así que en realidad empezamos con $n=2$ .
Para $n=2$ podemos hacerlo porque todo conjunto infinito puede dividirse en dos conjuntos infinitos.
Supongamos que podemos dividir $A$ en $n$ partes, $A_1,\ldots, A_n$ . Cada uno es infinito, dividido $A_n$ en $B$ y $C$ y así la partición $A_1,\ldots,A_{n-1},B,C$ es una partición de $A$ en $n+1$ partes. $\square$
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¿Se está preguntando que dado un conjunto infinito, se puede dividir ese conjunto en $n$ conjuntos infinitos para todos $n$ ?
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De hecho, también se puede dividir en infinitos conjuntos infinitos. Por ejemplo, con el conjunto $\mathbb N$ , puede dejar que $A_n=\{k\in\mathbb N\mid k=2^nm\text{ with }m\text{ odd}\}$ para $n=0,1,2,\ldots$
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Dejemos que $n$ se le dará. Divida los enteros en aquellos que son múltiplos de $n$ , los que dejan un resto de 1 cuando se dividen por $n$ , los que dejan un resto de 2 al ser divididos por $n$ ... y los que dejan un remanente de $n-1$ cuando se divide por $n$ .