Una gran diferencia es que los modelos de impuro conjunto de teorías admitir que no trivial de automorfismos. Considere la posibilidad de $\text{ZFU}$, por ejemplo. Tomar un conjunto $U$ de urelements y una permutación $\pi : U \to U$ de estos urelements. A continuación, $\pi$ se extiende a un automorphism de la (impuro) conjunto teórico universo
$$\pi(x) = \{ \pi(y)\, :\, y \in x \}$$
para todos los conjuntos de $x$. Esta es una bien definida definición recursiva porque por el axioma de fundación siempre encontrará finalmente golpeó el conjunto vacío o un urelement.
Este tipo de construcción permite formar los modelos de $\text{ZFU}+(\neg \text{AC})$. Tome un grupo de $G$ de automorfismos de a $U$, que se extienden a automorfismos del universo como el anterior. A continuación, en virtud de una adecuada definición de 'simétrico', el hereditariamente simétrica de los conjuntos de la forma de un modelo de $\text{ZFU}$ en el que el axioma de elección se produce un error.
Esto es imposible en $\text{ZF}$ debido a que en este escenario la única automorphism de que el universo es trivial. De hecho, incluso si usted admite elección en la construcción anterior, aunque la elección de falla en el simétrica submodel, todavía mantiene en la clase de puros juegos de la submodel.
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