¿Existe un auto-homeomorfismo de la 2-esfera con exactamente 3 puntos fijos?

Question

No lo creo, pero no sé cómo demostrarlo.

En Teorema de Lefschetz-Hopf dice en este caso que la suma de los índices de los puntos fijos es 0 ó 2 (ya que nuestro mapa es un autohomeomorfismo). Mi idea inicial era utilizar este teorema y un argumento de paridad; demostrar que el índice de un punto fijo de un homeomorfismo debe ser $\pm 1$ pero esto no funcionará por razones triviales (hay auto-homeomorfismos de la 2-esfera con exactamente 1 punto fijo).

Answer 1

Por la compacidad de $S^2$ un campo vectorial suave que desaparece precisamente en tres puntos determinará una familia suave de 1 parámetro de difeomorfismos con tres puntos fijos. En coordenadas cilíndricas $(\phi,z)$ en $S^2$ podemos conseguirlo sumando un par de campos vectoriales --- uno en la dirección $\partial \phi$ y una perpendicular en la dirección $\partial z$ dirección --- cuyos conjuntos de ceros se cruzan en tres puntos.

También podemos construir directamente un homeomorfismo adecuado: Consideremos las coordenadas cilíndricas $(\phi,z)$ en $S^2$ y el mapa $(\phi,z)\mapsto (\phi+\sin(\phi/2),z^3)$ . Lejos de los polos $z=\pm1$ (que son claramente fijos), un punto fijo $(\phi,z)$ debe cumplir $\sin(\phi/2)=0$ y $z^3=z$ Por lo tanto $\phi \equiv 0 \operatorname{mod} 2\pi$ y $z=0$ . De ello se deduce que los únicos puntos fijos son $(0,0)$ y los polos $z=\pm1$ .

Observación. Podemos modificar fácilmente el homeomorfismo anterior para producir un difeomorfismo, pero esto requiere un poco más de trabajo (por ejemplo, utilizando una función de protuberancia periódica para la coordenada $\phi$ ).

Answer 2

Proyecta la esfera (menos sus polos) al cilindro infinito $x^2+y^2=1$ entonces el mapa $(x,y,z)\mapsto (x,y,z+x-1)$ y proyectar de nuevo a la esfera