Proyección ortogonal de un punto sobre una línea

Question

por favor, dame una dirección de cómo resolver esto:

encontrar una proyección ortogonal de un punto T $(-4,5)$ en una línea $\frac{x}{3}+\frac{y}{-5}=1$

Answer 1

Me gustaría resolver el problema utilizando matrices de proyección ortogonales.

Si la línea pasa por el origen, será muy sencillo encontrar la proyección ortogonal. Supongamos que $p$ es el punto dado, $v$ es la línea dada (que pasa por el origen, por lo que se representa con un vector). Entonces el punto de proyección ortogonal es $$\frac{vv^T}{v^Tv}p$$

Ahora la línea dada no pasa por el origen. Pero se puede convertir en el sencillo problema anterior. Elige un punto $p_0=(x_0,y_0)^T$ en la línea dada. Mueve el origen a $p_0$ (más tarde se trasladan de vuelta). Entonces la línea puede ser representada por un vector $v$ y el punto original dado se convierte en $p_1=p-p_0$ . Ahora calcule $\frac{vv^T}{v^Tv}p_1$ . Luego, al mover el origen hacia atrás, obtenemos la proyección ortogonal en el sistema de coordenadas original es $$\frac{vv^T}{v^Tv}(p-p_0)+p_0=\frac{vv^T}{v^Tv}p+\left(I-\frac{vv^T}{v^Tv}\right)p_0$$ .

En concreto, para su problema, $p=(-4,5)^T$ . Elija $p_0=(0,-5)^T$ entonces $$\frac{vv^T}{v^Tv}p+\left(I-\frac{vv^T}{v^Tv}\right)p_0=(\frac{57}{17},\frac{10}{17})^T$$

Answer 2

La pendiente de la línea $r$ con la ecuación $\frac{x}{3}+\frac{y}{-5}=1$ es $m_{r}=\frac{5}{3}$ (porque $\frac{x}{3}+\frac{y}{-5}=1$ equivale a $y=\frac{5}{3}x-5$ ). La pendiente de la línea $s$ ortogonal a $r$ es $m_{s}=-\frac{3}{5}$ (porque $m_{r}m_{s}=-1$ ). Por lo tanto, la ecuación de $s$ es de la forma

$$y=-\frac{3}{5}x+b_{s}.$$

Desde $T(-4,5)$ es un punto de $s$ tenemos

$$5=-\frac{3}{5}\left( -4\right) +b_{s},$$

lo que significa que $b_{s}=\frac{13}{5}$ . Así que la ecuación de $s$ es

$$y=-\frac{3}{5}x+\frac{13}{5}.$$

Las coordenadas de la proyección ortogonal de $T$ en $r$ son las soluciones del sistema

$$\left\{ \begin{array}{c} y=\frac{5}{3}x-5 \\ y=-\frac{3}{5}x+\frac{13}{5}, \end{array} \right. $$

que son $(x,y)=\left( \frac{57}{17},\frac{10}{17}\right) $ .

Answer 3

Es la intersección de la línea $\frac{x+4}{5}=\frac{y-5}{-3}$ y la línea que diste.