Después de haber trabajado sólo con la inversa de los límites (de espacios topológicos), tenía curiosidad por ver lo que podía hacer de uno de estos directos límites trabajando directamente(!) a partir de la definición. Para el primero deje $G_k=\Bbb Z$$k\in\Bbb Z^+$. Para cada una de las $k\in\Bbb Z^+$ tenemos la unión de mapa de $$f_{k,k+1}:G_k\to G_{k+1}:n\mapsto kn\;,$$ así que debemos tener
$$f_{k,\ell}:G_k\to G_\ell:n\mapsto k(k+1)(k+2)\ldots(\ell-1)n=k^{\overline{\ell-k}}n$$
para $k,\ell\in\Bbb Z^+$ $k\le\ell$ donde $k^{\overline{\ell-k}}$ es un aumento de factorial.
El siguiente paso es formar a $\bigsqcup_{k\in\Bbb Z^+}G_k$, la inconexión de la unión de los grupos $G_k$. Una manera de hacer esto es para reemplazar a $G_k$$\Bbb Z\times\{k\}$, la definición de la adición de este nuevo objeto por $\langle m,k\rangle+\langle n,k\rangle=\langle m+n,k\rangle$; en otras palabras, el $k$ en el segundo componente viene para el paseo. Podemos entonces identificar los distintos unión con el conjunto de $\Bbb Z\times\Bbb Z^+$, cuyo elemento $\langle n,k\rangle$ representa el elemento $n$$G_k$.
Ahora podemos definir una relación de equivalencia $\sim$ en esta desunido de la unión: $\langle m,j\rangle\sim\langle n,k\rangle$ fib hay algunos $\ell\ge j,k$ tal que $f_{j,\ell}(m)=f_{k,\ell}(n)$, es decir, tal que $j^{\overline{\ell-j}}m=k^{\overline{\ell-k}}n$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $j\le k$. A continuación, $\langle m,j\rangle\sim\langle n,k\rangle$ fib hay un $\ell\ge k$ tal que
$$f_{k,\ell}(n)=f_{j,\ell}(m)=f_{k,\ell}\big(f_{j,k}(m)\big)\;,$$
y $f_{k,\ell}$ es inyectiva, por lo $n=f_{j,k}(m)$.
Así, $$\langle n,k\rangle\sim\langle kn,k+1\rangle\sim\langle k(k+1)n,k+2\rangle\sim\langle k(k+1)(k+2)n,k+3\rangle\sim\ldots\;.$$ If $k-1\mediados de n$, we can chain back a step: $$\langle n,k\rangle\sim\left\langle\frac{n}{k-1},k-1\right\rangle\;;$$ otherwise we cannot, and $\langle n,k\rangle\no\sim\langle m,j\rangle$ for any $j<k$ and $m\in\Bbb Z$. No es difícil ahora para verificar la siguiente proposición.
La proposición. Para cualquier $\langle n,k\rangle\in\Bbb Z\times\Bbb Z^+$ hay un único, $\langle m,j\rangle\in\Bbb Z\times\Bbb Z^+$ tal que
- $j\le k$;
- $\langle m,j\rangle\sim\langle n,k\rangle$; y
- $j-1\nmid m$.
El directo de límite que ahora se define como el cociente $$G=\left(\bigsqcup_{k\in\Bbb Z^+}G_k\right)\Bigg/\sim\;.$$
Con la ayuda de la proposición podemos identificar a $G$$H=\{\langle n,k\rangle\in\Bbb Z\times\Bbb Z^+:k-1\nmid n\}$. El grupo de operación $\oplus$ $H$ puede ser definida como sigue: si $j\le k$, $\langle m,j\rangle\oplus\langle n,k\rangle$ es el único de $\langle r,\ell\rangle\in H$ tal que
$$\langle r,\ell\rangle\sim\left\langle f_{j,k}(m)+n,k\right\rangle\;.$$
Tenga en cuenta que si $j<k$, luego $k-1\mid f_{j,k}(m)$; $k-1\nmid n$, desde $\langle n,k\rangle\in H$, lo $k-1\nmid f_{j,k}(m)+n$, e $$\left\langle f_{j,k}(m)+n,k\right\rangle\in H\;.$$
Por ejemplo, si $2\nmid m$$4\nmid n$, por lo que el$\langle m,3\rangle,\langle n,5\rangle\in H$, $$\langle m,3\rangle\oplus\langle n,5\rangle=\langle 3\cdot4\cdot m+n,5\rangle=\langle 12m+n,5\rangle\;.$$
Más generalmente, si $\langle m,j\rangle,\langle n,k\rangle\in H$$j<k$, luego
$$\langle m,j\rangle\oplus\langle n,k\rangle=\left\langle j^{\overline{k-j}}m+n,k\right\rangle\;,\tag{1}$$
donde los primeros componentes de mirar un montón de cosas como los numeradores en la adición $\frac{m}a+\frac{n}b$ si $b=j^{\overline{k-j}}a$. El segundo de los componentes de $j$ $k$ debe de alguna manera corresponden a los denominadores $a$$b$, y un poco de retoques revela que el mapa $$\langle n,k\rangle\mapsto\frac{n}{(k-1)!}$$ turns $(1)$ en
$$\frac{m}{(j-1)!}+\frac{n}{(k-1)!}=\frac{j^{\overline{k-j}}m+n}{(k-1)!}$$
si reemplazamos $\oplus$$+$. ¿Qué sucede cuando $j=k$? Entonces
$$\langle m,k\rangle\oplus\langle n,k\rangle\leadsto\langle m+n,k\rangle\;,$$
lo que puede no ser $H$, y $$\frac{m}{(k-1)!}+\frac{n}{(k-1)!}=\frac{m+n}{(k-1)!}\;,$$ which may be reducible to a fraction with a smaller factorial denominator. Moreover, $\langle m+n,k\rangle\sim\langle r,j\rangle\en%H $ iff $\frac{m+n} {k-1)!}$ reduces to $\frac{r}{(j-1)!}$.
Por lo tanto, si nos vamos a $$F=\left\{\frac{m}{n!}:n\nmid m\right\}\;;$$ then $\langle H,\oplus\rangle\cong\langle F,+\rangle$. Finally, let $\frac{m}n\in\Bbb P$, where $m,n\in\Bbb Z$, $n>0$, and $m$ and $n$ are relatively prime. Let $k$ be the smallest non-negative integer such that $n\mediados de los k!$, and let $d=\frac{k!}n$; then $\frac{m}n=\frac{dm}{k!}$, which is equal to a unique member of $F$. Thus, $\langle F,+\rangle$ is nothing but $\langle\Bbb Q,+\rangle$.
