Esto todavía está muy lejos de su objetivo de una simple caracterización para esto, pero creo que puede destacar algunas de las consideraciones importantes. Dejemos que $A$ ser una matriz hueca simétrica con eigendecomposición $A=UDU^{*}$ , $ \text {diag}(D)= \vec { \lambda },$ que sin pérdida de generalidad tomamos para ser ordenados de tal manera que $ \lambda_ {1} \leq \lambda_ {2} \leq\cdots\leq \lambda_ {n}.$ Si $V$ es cualquier matriz unitaria, entonces \begin {align}(V^{*}AV)_{i,i}&=((V^{*}U)D(U^{*}V))_{i,i} \notag\\ &= \sum_ {j=1}{n} \lambda_ {j}| \langle v_{i},u_{j} \rangle |^{2} \notag\\ &= \sum_ {j=1}{n} \lambda_ {j}S_{i,j}=(S \vec { \lambda })_{i}, \label {eq1} \end donde $S=[| \langle v_{i},u_{j} \rangle |^{2}]_{i,j=1}^{n}$ es doblemente escaso. Entonces $V^{*}AV$ El hueco restante es equivalente a $S \vec { \lambda }=0,$ que en el caso $n=2,$ combinado con el criterio doblemente escénico, fuerza $V$ para ser de la forma $P \Delta ,$ donde $P$ es una matriz de permutación, y $ \Delta $ es una matriz diagonal con entradas diagonales de módulo $1$ (está claro que si $A$ es hueco, entonces $V^{*}AV$ es hueco para $V$ de esta forma para cualquier $n,$ pero en el $n=2$ esto se hace necesario siempre y cuando $A \neq0 $ ).
En un caso especial, podemos ver que hay una colección no trivial de matrices unitarias que conservan el hueco de $A:$ Si $A$ tiene valores propios con multiplicidades $>1,$ entonces la eigendecomposición no es única, y $A=WDW^{*}$ para un unitario $W$ si y sólo si $W=U \left ( \bigoplus_ {j=1}^{k}V_{j} \right ),$ donde la suma directa se divide conforme a $D$ y el $V_{j}$ Las matrices son todas unitarias. Entonces si $V=U \left ( \bigoplus_ {j=1}^{k}V_{j}^{*} \right )U^{*},$ $V^{*}AV=A$ es hueco, como lo es $(V')^{*}AV'$ para $V'=VP \Delta $ para $V$ en esta forma, y cualquier $P \Delta $ como arriba.
También vale la pena señalar que $\{S \vec { \lambda }:S \text { is doubly-stochastic}\}$ es exactamente el conjunto de vectores que mayoritariamente $ \vec { \lambda }$ (Definiré esto en un segundo). Primero note que podemos considerar que estos están ordenados de tal manera que $(S \vec { \lambda })_{1} \leq (S \vec { \lambda })_{2} \leq\cdots\leq (S \vec { \lambda })_{n},$ ya que de lo contrario $PS \vec { \lambda }$ tiene esta propiedad para alguna matriz de permutación $P$ y podemos llegar a $PS$ considerando $V'=VP$ en la ecuación ( \ref {eq1}). Diré que $x$ se especializa $y$ (para dos vectores reales $x,y$ con sus entradas en orden creciente) cuando para cada $1 \leq k \leq n,$ $ \sum_ {i=1}^{k} x_{i} \geq \sum_ {i=1}^{k} y_{i},$ con igualdad cuando $k=n.$ En otras palabras, $x$ es "más plana" que $y,$ y tienen la misma suma. Deje que $L$ ser el conjunto $$\{S \vec { \lambda }:S \text { is doubly-stochastic and }S \vec { \lambda } \text { is in increasing order}\}.$$ Luego $L$ es convexo, ya que el conjunto de matrices doblemente estancadas lo es, y la propiedad de orden creciente se conserva por las combinaciones convexas. Entonces el $0$ vector es un punto extremo de este conjunto: si $0= \alpha x+(1- \alpha )y,$ $x,y \in L,$ y $ \alpha\in [0,1],$ donde $x$ y $y$ no son el vector cero, ya que para el vector de todos los unos $e$ , $e^{T}x=e^{T}S \vec { \lambda }=e^{T} \vec { \lambda }=0,$ $x_{1}<0$ (y de manera similar $y_{1}<0);$ así que $0= \alpha x_{1}+(1- \alpha )y_{1}<0,$ lo cual es una contradicción. Si eliminamos la restricción de pedido en $L,$ ya no está claro si $0$ es un punto extremo, sin embargo.
También podemos observar que el conjunto de la doble estrategia $S$ de tal manera que $S \vec { \lambda }=0$ es convexo, y cuando $ \vec { \lambda } \neq0 $ no contiene ninguna de las matrices de permutación (que son los vértices del politopo de las matrices doblemente estancadas). El problema con esta dirección es que para una combinación convexa de $S_{1}$ y $S_{2}$ no hay una forma clara (para mí) de seleccionar $V$ de tal manera que $[| \langle v_{i},u_{j} \rangle |^{2}]_{i,j=1}^{n}$ es igual a esta combinación convexa, incluso dada tal $V$ para $S_{1}$ y $S_{2}.$
Un último comentario: si además $A$ es circulante, entonces se ahueca automáticamente, así que en el caso general, si $V=UF^{*},$ para la matriz DFT $F,$ entonces $V^{*}AV$ será circulante y hueco.
