¿Cómo Descartes venir para arriba con la parodia número perfecto impar $198585576189$?

Question

Llamamos a $n$ una parodia número perfecto impar si $n$ es impar y y $n=km$ para dos enteros $k, m > 1$ tal que $\sigma(k)(m + 1) = 2n$ donde $\sigma$ es la suma de los divisores de la función.

En una carta a Mersenne de noviembre $15$, $1638$, Descartes demostró que $$d = {{3}^2}\cdot{{7}^2}\cdot{{11}^2}\cdot{{13}^2}\cdot{22021} = 198585576189$$ sería un número perfecto impar si $22021$ fueron la principal.

Aquí está mi pregunta:

¿Cómo Descartes venir para arriba con la parodia número perfecto impar $198585576189$?

Answer 1

Si $22021$ fueron la principal, tendríamos $$\sigma(d)=\sigma(3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot 22022=(1+3+3^2)\cdot(1+7+7^2)\cdot(1+11+11^2)\cdot(1+13+13^2)\cdot 22022=2d$$ que puede ser verificada por la multiplicación

Supongo que Descartes calculado $\sigma(3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)=3^2\cdot 7\cdot 13\cdot 19^2\cdot 61$ , trató de multiplicar con el $19^2\cdot 61$ no se ajustan a la $3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2$-parte y la suerte.