Una prueba de la identidad de $\sum_{n=r}^{\infty} {n \choose r}^{-1} = \frac{r}{r-1}$

Question

¿Tiene usted alguna idea para demostrar la siguiente identidad a través de una combinatoria (o algebraica) método? $\sum_{n=r}^{n=\infty} {n \choose r}^{-1} = \frac{r}{r-1}$

Este es el Ejercicio 71 en el Capítulo 2 del libro Chen C. C., Koh K. M. Principios y técnicas en la combinatoria. El libro no da una solución, aunque menciona: "véase H. W. Gould, Combinatoria Identidades, Morgantown, W. V. (1972), 18-19".

muchas gracias de antemano, Shahram

Answer 1

Esto es, básicamente, una generalización del enfoque a partir de esta respuesta: \begin{align*} \sum_{n=r}^\infty \frac1{\binom nr} &= r! \sum_{n=r}^\infty \frac1{n(n-1)\cdots(n-r+1)}\\ &= \frac{r!}{r-1} \sum_{n=r}^\infty \frac{n-(n-r+1)}{n(n-1)\cdots(n-r+1)}\\ &= \frac{r!}{r-1} \sum_{n=r}^\infty \left(\frac1{(n-1)\cdots(n-r+1)} - \frac1{n(n-1)\dots(n-r+2)}\right)\\ &\overset{(1)}= \frac{r!}{r-1} \cdot \frac1{(r-1)!} = \\ &= \frac{r}{r-1} \end{align*}

La ecuación de $(1)$ se basa en el hecho de que tengamos una suma telescópica y con la excepción de la primer término, todos los demás términos "cancelar".

La anterior sólo funciona para $r\ne1$. Pero está claro que para $r=1$ obtenemos la serie armónica $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n$, que es divergente.

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Para explicar esto con más claridad, tenemos una suma de la forma $$\sum_{r=n}^\infty (a_n-a_{n+1})= (a_r-a_{r+1})+ (a_{r+1}-a_{r+2})+\dots.$$ Since $a_n\a 0$, we get that the sum is simply $a_r$, since the partial sum is $$\sum_{r=n}^N (a_n-a_{n+1}) = (a_r-a_{r+1})+(a_{r+1}-a_{r+2})+\dots+(a_N-a_{N+1}) = a_r-a_{N+1}.$$ In our case $a_n=1/[(n-1)\cdots(n-r)]$.

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Después de algunos reescritura, podemos ver que esta es una suma que se ha calculado en este sitio un par de veces, es decir, $\sum_{k=1}^\infty \frac1{k(k+1)\cdots(k+s)}$ . En nuestro caso, $s=r-1$. (Claramente, cuando yo estaba tratando de buscar antes de publicar mi respuesta, yo no elegir la correcta de las consultas de búsqueda.) Un par de posts sobre esta suma encontrados mediante la búsqueda anterior en Approach0:

• ¿Cómo puedo evaluar este límite: $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)\cdots(k+m)}$?
• ¿Cómo podemos calcular esta suma $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)\cdots(n+p)}$?
• Calcular la suma infinita $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots (k+p)} $
• Cómo probar que $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)} = \frac{1}{kk!}$ por cada $k\geqslant1$

También podemos encontrar algunos posts sobre el finito suma, por ejemplo , con la fórmula General para esta suma $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)...(k+m)}$.

Answer 2

$${n \choose r}^{-1}$$

$$=\frac{r!(n-r)!}{n!}$$

$$=\frac{r\Gamma(r) \Gamma (n-r+1)}{\Gamma (n+1)}$$

$$=rB(r,n-r+1)$$

$$=r \int_{0}^{1} x^{n-r} (1-x)^{r-1} dx$$

$$=r \int_{0}^{1} x^n x^{-r} (1-x)^{r-1} dx$$

También tenga en cuenta,

$$\sum_{n=r}^{\infty} x^n=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+r}=\frac{x^r}{1-x}$$

De modo que,

$$\sum_{n=r}^{\infty} {n \choose r}^{-1}$$

$$=r \int_{0}^{1} (1-x)^{r-2} dx$$

$$=\frac{r}{r-1}$$