¿Por qué uno tiene que comprobar si los axiomas son verdaderos?

Question

En el Tao del libro de Análisis 1, escribe:

Por lo tanto, desde el punto de vista de la lógica, podemos definir la igualdad en un [comentario de mí mismo: yo creo que él se olvidó de la palabra "tipo de objeto" aquí] sin embargo, nosotros, por favor, en la medida obedece a la reflexiva, la simetría y el transitivo axiomas, y es compatible con todas las otras operaciones en la clase de objetos en la discusión en el sentido de que la sustitución axioma de que era cierto para todas estas operaciones.

Qué quiere decir que, si uno quiere definir definir la igualdad en un tipo específico de objeto (al igual que las funciones, los pares ordenados, por ejemplo), uno tiene que comprobar que esos axiomas de la igualdad (se refiere a estos cuatro axiomas de la igualdad como "simetría", "reflexividad", "transitividad", y "sustitución") hold en el sentido de que uno tiene que probar? Parece así, porque de estos dos pasajes:

[En la sección 3.3 Funciones], observamos que las funciones de obedecer el axioma de sustitución: si $x=x'$, $f(x) = f(x')$ (żpor qué?).

(Mi respuesta sería "porque eso es un axioma", pero Tao aparentemente no aceptar eso.)

Y después de la definición de igualdad de conjuntos ($A=B:\iff \forall x(x\in A\iff x\in B)$), Tao escribe (en la página 39):

Uno puede comprobar fácilmente que esta noción de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva (Ejercicio 3.1.1). Observar que si $x\in A$$A = B$,$x\in B$, por Definición 3.1.4. Así, el "es un elemento de" relación $\in $ obedece el axioma de sustitución

Por lo que da el ejercicio para demostrar que los axiomas de la igualdad de conjuntos. ¿Por qué uno tiene que probar los axiomas? O, dicho de otra manera: si se puede probar estas cosas, ¿por qué el estado como axiomas?

Answer 1

Creo Tao significa que los axiomas de la reflexividad, simetría y transitividad son adecuadas para capturar nuestra pre-existente (esta es la clave) intuición acerca de lo que la "igualdad" entre dos objetos deben ser. Permítanme dos ejemplos contrastantes para ayudar a desempacar lo que quiero decir.

Versión 1

Usted: Conjuntos de $A$ $B$ son shmequal proporcionado $x \in A \Leftrightarrow x \in B$ todos los $x$.

Yo: Eso suena como una multa relación a investigar. Nombre de creatividad, por el camino.

La versión 2

Usted: Conjuntos de $A$ $B$ son igual proporcionado $x \in A \Leftrightarrow x \in B$ todos los $x$.

Yo: Ahora, aguanta un segundo. Por "la igualdad", que significa "idéntico" o "exactamente el mismo"? No estoy seguro de que estoy listo para aceptar que esta definición abstracta captura todo lo que. Usted tendrá que demostrar a mí que la relación se $x \in A \Leftrightarrow x \in B$ todos los $x$ es reflexiva, simétrica y transitiva antes de que yo estoy dispuesto a conceder que esto merece un nombre como el de "igualdad".

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Comentario de OP

Un ejemplo que me vino a la mente: se define la igualdad de pares ordenados: $(x,y)=(a,b)⟺x=a∧y=b$. Para mostrar que la igualdad de pares ordenados es reflexiva necesitamos mostrar $(x,y)=(x,y)$, lo que significa por definición que $x=x∧y=y$. Pero $x$ $y$ sí podría ser pares ordenados. Así que ahora estamos en la situación en la que tenemos que demostrar que a cada par ordenado es igual a sí mismo, pero donde también tenemos que aceptar esto como algo dado.

Una débil respuesta de mí

Tengo problemas para encontrar buenas palabras a la dirección de su pregunta, pero podría ayudar a recordar que no estamos comprobando si $(x,y) = (x,y)$. Más bien esta es una de las cosas que insistir debería ser el caso si la "igualdad" es decir nada; se debe aplicar a objetos idénticos. En lugar de eso, estamos pidiendo "Por pares ordenados, hace el $x = a \wedge y = b$ propiedad de captura de esta verdad evidente sobre la igualdad?". Nos encontramos con que lo hace: $x = x$ $y = y$ son enunciados verdaderos, porque estamos comparando dos objetos idénticos en cada caso.

Answer 2

Usted probablemente está confundido porque creo que son los axiomas (por definición) declaraciones que tomamos como cierto sin ningún tipo de pruebas. Sin embargo, esta palabra tiene un significado ligeramente diferente.

Los axiomas son un punto de partida de una teoría matemática. Cuando se construye una teoría, por ejemplo, la Aritmética, de la nada, necesita algunos datos preliminares, de lo contrario, usted no puede probar nada. En Aritmética y un montón de otras teorías matemáticas de la describen propiedades de la igualdad son, de hecho, axiomas, que uno no prueba. La igualdad es una noción primitiva, y la única forma sensata realmente definir que es el postulado de que estos naturales (como parece que a nosotros los seres humanos) las propiedades.

Sin embargo, en la teoría de conjuntos, estos "axiomas" no son la definición de igualdad. Más bien, la igualdad se define a través de la fórmula anterior: dos conjuntos son iguales cuando se componen de elementos idénticos. Pero a la hora de definir la igualdad de esta manera, hay una pregunta natural: ¿por qué estamos nombrar a este como "igualdad"? Esta es la razón por la que se prueba "axiomas de la igualdad", en la que ya estamos acostumbrados, para mostrar que la nomenclatura de "igualdad" es la adecuada. Y cuando lo prueban, se convierten en teoremas de la teoría de conjuntos y propiedades de la igualdad, en lugar de los axiomas. Esto es debido a que la teoría de conjuntos es más fundamental y más potente que la mayoría de las teorías matemáticas en el sentido de que se puede construir (casi) todas las matemáticas se basan en él.

Answer 3

Hay axiomas y, a continuación, hay axiomas. La mayoría del tiempo los matemáticos usan la palabra "axioma" que significa, en un sentido definitorio. En lugar de "la igualdad es una relación satisfactoria la reflexividad, simetría, transitividad, y substitutivity axiomas" creo que en lugar de "Por definición, la igualdad es una relación para que la reflexividad, simetría, transitividad, y substitutivity hold". En otras palabras, puede llamar a algunos de relación de igualdad, si usted puede demostrar que cumple con la definición, es decir, que la reflexividad, simetría, transitividad, y substitutivity son verdaderas. Así que la respuesta a tu primera pregunta es "sí". Para decirlo de otra manera, estos "axiomas" son verdaderas de relaciones de equidad, pero usted tiene que demostrar que su relación es de hecho una relación de igualdad. Esta es exactamente la misma situación que la definición de un matemático de grupo , por ejemplo.

Para decirlo de una mejor manera, estos "axiomas" son los axiomas de la teoría de la igualdad" y que desea mostrar que una relación es un modelo/interpretación/semántica de esa teoría. Muy brevemente y dibujando o menos, en la lógica formal, una teoría es un conjunto de símbolos y un conjunto de reglas. Una teoría se define a ciertos arreglos de símbolos a ser fórmulas (o frases o términos). También habrá una noción de "theoremhood" definidos por las normas. Normalmente, las reglas tienen la forma "si estos arreglos de símbolos son teoremas, entonces este arreglo de símbolos es un teorema". Usted podría llamar a estas reglas de "axiomas", aunque en este contexto que normalmente sólo las reglas con ninguna de las premisas, es decir, que simplemente descaro estado "esta disposición de los símbolos es un teorema" sin ninguna condición, son llamados "axiomas". Sin embargo, el "axioma de simetría", dicen, se corresponde más estrechamente a una regla de un axioma en este sentido más estricto. Una teoría (y la lógica en que se formula) por lo tanto da lugar a un lenguaje.

Por supuesto, normalmente queremos hablar de círculos y torii y otros objetos matemáticos que no (por lo general...) pensar en un "acuerdos de símbolos". Para conectar la teoría a la de algunos objetos matemáticos, hacemos uso de una semántica que es la inicialización de los objetos matemáticos a los arreglos de los símbolos de una manera coherente (generalmente de satisfacer algunas condiciones depende de la lógica en la cual la teoría se formula en la que las reglas son satisfechos. Si las reglas no están satisfechos, entonces la asignación no es una semántica para la teoría.

Así, el Tao es (implícitamente) la especificación de una teoría de la igualdad y estos ejercicios están pidiendo que muestran que la interpretación particular (es decir, las asignaciones) se semántica de esa teoría.

Entonces, ¿cómo se relaciona esto con la teoría de conjuntos como el "fundamento" de las matemáticas o axiomas como "evidentes verdades"? Tan lejos como "fundaciones" se refiere a la situación es que los matemáticos para la mayor parte han acordado (aparentemente) de trabajo dentro del lenguaje de Zermelo-Fraenkel (ZF) la teoría de conjuntos, que es una teoría en la lógica de primer orden. No es cuestión de "true" o "false" en este escenario. Simplemente tenemos algunas fórmulas que se llaman teoremas y reglas para hacer más de teoremas. Las reglas y axiomas simplemente definir lo que es un "teorema". Los axiomas en el más estricto sentido, a continuación, los puntos de partida para derivar teoremas como Wolfram, dijo. Sin embargo, se puede hablar de la semántica de la teoría de conjuntos ZF y para mostrar que una asignación es una semántica estaríamos obligados a probar el "axioma de emparejamiento" y el "axioma del infinito" y todos los otros axiomas de la teoría de conjuntos ZF presionado para nuestra interpretación. Esto es algo que se hace en la teoría de conjuntos y la lógica.

De manera pragmática, como he dicho en el primer párrafo, sólo debe interpretar "axioma", en este y en la mayoría de los casos como "la condición que tiene que llevar a cabo para cumplir con la definición". El resto de esta respuesta fue más que explica cómo este uso de la palabra "axioma" es, de hecho, más o menos consistente con el uso, por ejemplo, en "los axiomas de la teoría de conjuntos" o "axiomas de la geometría".

Answer 4

Personalmente, he llegado a pensar de axiomas como poco los componentes de una gran definición. Por ejemplo, los axiomas en el inicio de los Elementos de definir lo que entendemos por "geometría Euclidiana"; los axiomas de Peano sirven para definir lo que entendemos por "número natural", y así sucesivamente.

Esto le da un poco de limpiador de estilo que una definición que va en un párrafo o dos con un montón de conjunciones. Y sirve para hacer las partes distintas, así que podemos estudiar los efectos de tal vez cambiar o cambiar uno de ellos y manteniendo el resto de la misma.

Así, el Tao es el listado de todos los sub-componentes en la definición de lo que entendemos por "igualdad". Lo que la igualdad significa que se asume de antemano por estos axiomas. Ahora la pregunta es: ¿la propuesta de una nueva relación realmente cuenta como la igualdad, o no? Que necesita ser establecida por demostrar que cumple con todos los criterios, es decir, todos los componente de los axiomas de la definición.

Answer 5

Por lo que da el ejercicio para demostrar que los axiomas de la igualdad de conjuntos. ¿Por qué uno tiene que probar los axiomas? O, dicho de otra manera: si se puede probar estas cosas, ¿por qué el estado como axiomas? $ \def\imp{\Rightarrow} \def\eq{\Leftrightarrow} $

Él hace no demostrar el axioma como se indica. El axioma de las reclamaciones de igualdad entre dos conjuntos de iff tienen exactamente los mismos miembros. Esta igualdad símbolo "$=$" es el símbolo en la base del sistema en sí, y no hay manera de que usted será capaz de demostrar un axioma fundamental de la sistema si es independiente de los otros axiomas. De hecho, la igualdad símbolo es parte de la lógica de primer orden en sí. Entonces, ¿qué hace exactamente Terence Tao significa?

Él escribió:

Uno puede comprobar fácilmente que esta noción de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva (Ejercicio 3.1.1). Observar que si $x∈A$$A=B$,$x∈B$, por Definición 3.1.4. Así, el "es un elemento de" relación $∈$ obedece el axioma de sustitución.

Esto es, lógicamente, no es del todo exacta, a menos que él está trabajando en la lógica de primer orden sin la igualdad. Sería más claro para definir la relación binaria $\sim$ tal que $A \sim B$ fib $\forall x\ ( x \in A \eq x \in B )$. Entonces tiene sentido preguntar si $\sim$ es una relación de equivalencia o no, y si se obedece a la sustitución. Es trivial demostrar que de hecho es simétrica, reflexiva y transitiva. En un sistema formal, debemos pensar en la idea de que una relación $\sim$ obedece a la sustitución en el sentido de que $x \sim y$ implica que el $P(x) \eq P(y)$ cualquier $1$-de entrada oración $P$. Resulta que en un primer orden lenguaje que no necesita de verificación para cada $1$-de entrada oración, porque basta para comprobar cada una de las no-lógica de los símbolos del lenguaje. Ya que el lenguaje de la teoría de conjuntos, que solamente tiene un no-lógico símbolo "$\in$", precisa la noción de "obedece a la sustitución" en la teoría de conjuntos es, por lo tanto:

$\forall A,B\ ( A \sim B \imp \forall C\ ( C \in A \eq C \in B ) \land \forall C\ ( A \in C \eq B \in C ) )$.

Observar que la primera mitad de la reclamación es trivialmente cierto por definición de $\sim$. No veo la segunda mitad en la cita de Terence Tao que usted tiene en su pregunta. Si no me equivoco, no es demostrable, en cuyo caso Terence no demostrar realmente completo substitutivity.