No es exactamente una respuesta a su pregunta, pero me parece relevante para la discusión. También, puedo hacer un descargo ahora, mucho de lo que sigue es mi opinión basada en lo que he visto. Si hay matemáticos o anécdotas que creo que daría una mejor perspectiva de la situación, me encantaría oír acerca de ellos.
Vale la pena señalar que de Euler inicial de la prueba del hecho de que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$, mientras que el elegante, no es riguroso por los estándares de hoy. Mostró una gran intuición, y cómo el tipo de descubrimientos que están hablando se hacen a menudo. Un recién llegado relativo a las matemáticas tiene una idea de lo que les lleva a hacer algunos progresos en un problema. Sin embargo, su intuición a menudo conduce a la no-argumentos rigurosos. Con un poco de suerte, el argumento puede ser rigurosa por aquellos con un mayor matemático de la caja de herramientas.
Otro ejemplo de un matemático es Srinivasa Ramanujan, un Indio matemático que hizo muchos descubrimientos con casi ningún nivel terciario de la educación matemática. Desde el artículo de la Wikipedia:
"Las limitaciones de sus conocimientos eran tan sorprendente como su profundidad. Aquí estaba un hombre que podría trabajar fuera modular ecuaciones y teoremas... a las órdenes precedentes, cuyo dominio de las fracciones continuas fue... más allá de cualquier matemático en el mundo, que había encontrado por sí mismo la funcional de la ecuación de la función zeta y el dominante en términos de muchos de los más famosos problemas en la analítica, la teoría de los números; y sin embargo, él nunca había oído hablar de una doble función periódica o de Cauchy teorema, y lo había hecho, pero la más vaga idea de lo que es una función de una variable compleja fue...". Cuando se le preguntó acerca de los métodos empleados por Ramanujan para llegar a sus soluciones, Hardy dijo que eran "llegó a través de un proceso de mezclado argumento, la intuición, y la inducción, de la cual era totalmente incapaz de dar cualquier relato coherente." También afirmó que había "nunca conoció a su igual, y se puede comparar a él solo con Euler o de Jacobi."
Me imagino que alguien que busca para hacer este tipo de descubrimientos de hoy comenzará en las áreas que Ramanujan trabajado en; mientras que son increíblemente profundo, que contienen muchos de los resultados que son fáciles de entender. Por ejemplo, una infinita suma de $\dfrac{1}{\pi}$ es fácil de entender, aunque puede ser increíblemente difícil de encontrar.
El último punto que me gustaría hacer es que mientras Euler descubrimiento fue en realidad, la solución para el bien conocido problema de Basilea, Ramanujan los descubrimientos que no estaban en la forma de resolución de problemas abiertos, al menos, no uno que era consciente de. Ramanujan trabajado en el aislamiento y hechos asombrosos descubrimientos mediante la exploración de las matemáticas, dejando que su curiosidad y la intuición de plomo él. Me gustaría animar a un moderno día de Euler o de Ramanujan a hacer lo mismo; la brillantez tal persona poseen les puede permitir responder a las preguntas ni siquiera hemos pensado en preguntar.
