Ideal en el anillo de matrices triangulares superiores

Question

Estoy tratando de describir un ideal del anillo $R=\left\{ \begin{pmatrix}a & b\\ 0 & c \end{pmatrix}:a,b,c \in \mathbb{R}\right\} $
Es fácil demostrar que $I=\left\{ \begin{pmatrix}0 & a\\ 0 & 0 \end{pmatrix}:a\in\mathbb{R}\right\} $ y $J=\left\{ \begin{pmatrix}a & b\\ 0 & 0 \end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\} $ son ideales de $R$
Mi pregunta es: ¿cómo puedo encontrar otros ideales?
Se agradecería cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Supongo que con "ideal" te refieres a "ideal de dos caras".

Tenga en cuenta que puede escalar independientemente las dos columnas o las dos filas de una matriz multiplicando por un lado o por el otro por una matriz diagonal. Así que en un ideal unidimensional las matrices sólo pueden tener una entrada no nula. Hay tres lugares para esta entrada y se puede comprobar que de los tres, sólo $$\begin{pmatrix} 0 & \ast \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ da un ideal, por lo que este es el único posible $1$ ideal dimensional. El anillo es tridimensional, así que sólo quedan los ideales bidimensionales.

Una matriz en $R$ es una unidad si y sólo si tiene entradas no nulas en la diagonal y estamos buscando un ideal propio por lo que todas nuestras matrices deben tener un cero en la diagonal. El ideal también debe contener una matriz que tenga un no-cero en la diagonal (si no, el ideal es el ideal unidimensional anterior). Podemos escalar esta entrada no nula a $1$ por lo que nuestro ideal debe contener una matriz de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & \ast \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{or} \qquad \begin{pmatrix} 0 & \ast \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ten en cuenta que no puede contener uno de cada porque al sumarlos se obtendría una unidad. Así que todas las matrices del ideal deben ser de la forma $$\begin{pmatrix} \ast & \ast \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{or} \qquad \begin{pmatrix} 0 & \ast \\ 0 & \ast \end{pmatrix}$$ Ahora sólo tienes que comprobar que esos dan realmente ideales y entonces habrás demostrado que hay exactamente tres ideales propios no triviales.

Answer 2

$\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y\\ 0 & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax & ay+bz\\ 0 & cz \end{pmatrix}$ .

Si $a\neq 0$ puede variar $ax$ y $ay$ en $\mathbb{R}$ variando $x$ y $y$ . Del mismo modo, si $b\neq 0$ puede variar $bz$ en $\mathbb{R}$ y si $c\neq 0$ puede variar $cz$ en $R$ variando $z$ . Así, los diferentes a la derecha ideales de $R$ son:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \ast \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & \ast \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & \ast \\ 0 & \ast \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \ast & \ast \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \ast & \ast \\ 0 & \ast \end{pmatrix}$