Demostrar que el resultado es 1/2

Question

Dado un número natural $n>1$ , suma todas las fracciones $\dfrac{1}{pq}$ , donde $p$ y $q$ son relativamente primos,
$0< p < q \le n$ y $p+q>n$ . Demostrar que el resultado es siempre $\dfrac{1}{2}$ .

Lo que sé:
1. La prueba en sí misma se hizo utilizando la inducción.

Lo que no sé
1. Sinceramente, no tengo ni idea de cómo escribir la prueba de este problema.

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Poner $A_n=\{(p,q); 1\leq p<q\leq n, p\wedge q=1,p+q\geq n+1\}$

Entonces $A_{n+1}$ es diferente de $A_n$ de dos maneras:

1) si $(p,q)$ está en $A_n$ y $p+q=n+1$ entonces $(p,q)$ no está en $A_{n+1}$ (Deja que $B_n$ este conjunto). Por lo demás, $(p,q)$ está en $A_{n+1}$ .

2) Los elementos $(p,n+1)$ con $p$ primo a $n+1$ están en $A_{n+1}$ pero no en $A_n$ De lo contrario, un elemento de $A_{n+1}$ está en $A_n$ . Por lo tanto, la diferencia entre la suma sobre $A_n$ y $A_{n+1}$ es $$-\sum_{(p,q)\in B_n}\frac{1}{pq}+\frac{1}{n+1}\sum_{p\wedge(n+1)=1}\frac{1}{p}$$

Ahora como $\frac{1}{p(n+1-p)}=\frac{1}{n+1}(\frac{1}{p}+\frac{1}{n+1-p})$ la suma sobre $B_n$ es igual a

$$\frac{1}{n+1}(\sum\frac{1}{p}+\sum\frac{1}{n+1-p})$$ donde la suma es sobre el $p$ con $1\leq p<\frac{n+1}{2}$ , $p$ primo a $n+1$ y vemos que esto es $\displaystyle \frac{1}{n+1}\sum_{p\wedge(n+1)=1}\frac{1}{p}$ y hemos terminado.