Ahlfors "Demuestra la fórmula de Gauss"

Question

Él dice:

Demostrar la fórmula de Gauss: $$(2\pi)^\frac{n-1}{2} \Gamma(z) = n^{z - \frac{1}{2}}\Gamma(z/n)\Gamma(\frac{z+1}{n})\cdots\Gamma(\frac{z+n-1}{n})$$

Este es un ejercicio de Ahlfors.

Tomando la derivada logarítmica, es fácil demostrar a la izquierda y a la derecha lados son de la misma hasta un multiplicativo constante.

Después de que estoy perdido. Es fácil de usar otra identidad al $n$ es incluso el uso de la inducción. Pero cuando $n$ es impar estoy perdido.

Es obvio que cuando se $n$ es una potencia de 2.

Answer 1

Después de haber establecido que el lado derecho y el lado izquierdo se diferencian por un multiplicativo constante, todo lo que está a la izquierda para hacer que conecte $z=1$. Si usted emparejar los factores en el lado derecho como $$\Gamma \left( \frac{1+k}{n} \right) \leftrightarrow \Gamma \left( \frac{n-k-1}{n} \right) ,$$ y aplicar la reflexión fórmula $\Gamma(z) \Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}$, las cosas serán más fáciles de la OMI.

Editar:

Una vez que usted aplica la reflexión fórmula, usted tendrá que lidiar con un producto de los senos. Por favor ver esta pregunta con el fin de manejar.