Una prueba alternativa a un teorema que "e"

Question

En un papel, se afirmó que $\lim_{x \to \infty} (1-\frac{f(x)}{x})^x \sim e^{-f(x)}$ al$\frac{(f(x))^2}{x}$$o(1)$.

He demostrado que el reclamo de la siguiente manera; sin embargo, estoy en busca de una simple prueba.

Definir $g(x) = \frac{(1-f(x)/x)^x}{x}$$h(x) = \frac{e^{-x}}{x}$. Para demostrar el teorema, debemos mostrar que $\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{h(f(x))} = 1$ al$\frac{(f(x))^2}{x}$$o(1)$. Para ello, se utiliza el binario de expansión para $g(x)$, y la serie de Taylor para $h(x)$:

$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(x-f(x))^x}{x^{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^x \binom{x}{1}x^{x-1}f(x) + \binom{x}{2}x^{x 2}(f(x))^2 - \cdots}{x^{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-f(x)}{x}$

(El último de la identidad se deriva del hecho de que $\frac{(f(x))^2}{x}$$o(1)$; es decir $\lim_{x \to \infty} \frac{(f(x))^2}{x} = 0$.)

Ahora, desde la $h(x) \sim \frac{1 - x + x^2/2 - \cdots}{x}$,$h(f(x)) \sim \frac{1 - f(x) + (f(x))^2/2 - \cdots}{x}$, e $\lim_{x \to \infty} h(f(x)) = \lim_{x \to \infty} \frac{1-f(x)}{x}$. (De nuevo, el último de la identidad se deriva del hecho de que $\frac{(f(x))^2}{x}$$o(1)$.)

La combinación de los dos límites, podemos ver que $\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{h(f(x))} = 1$.

Como ya he dicho, esta prueba es larga, y para mí, no es atractivo.

¿Alguien sabe de un mejor prueba?

Answer 1

Let'sconsider $$\lim_{x\to\infty} \left (1 - \frac{{f(x)}} {x} \right) ^ {x} = \exp\left[x \ln \left(1-\frac{f(x)}{x}\right)\right \lim_{x\to\infty}].$$ ampliando el logaritmo, obtenemos $$x \ln \left(1-\frac{f(x)}{x}\right) = x \left[-\frac{f(x)}{x} + O\left(\frac{f(x)}{x}\right) ^ 2\right] f = O\left(\frac{f(x)^2}{x}\right).$$ por lo que obtenemos (usando el hecho de que $f(x)^2/x$ es $o(1)$) $$\left(1-\frac{{f(x)}}{x}\right) ^ {x} = e^{-f(x) + o (1)} \sim e^{-f(x)}.$$

Answer 2

Puede ser útil considerar la posibilidad de $(1 - \frac{{f(x)}}{x})^{(x/f(x))f(x)}$.

EDIT: Esto es un comentario (en respuesta a la OP del comentario de abajo).

Primero de todo, tenga en cuenta que sin pérdida de generalidad podemos suponer que $f(x) \neq 0$. Ahora, a primera vista, parecía que la escritura $(1 - \frac{{f(x)}}{x})^x$ $(1 - \frac{{f(x)}}{x})^{(x/f(x))f(x)}$ podría ser útil, ya $(1 - \frac{{f(x)}}{x})^{x/f(x)} \to e^{-1}$. De hecho, cuenta que desde $\frac{f^2(x)}{x}$ es $o(1)$, $f(x)/\sqrt{x} \to 0$, por lo tanto, también a $f(x)/x \to 0$. Sin embargo, este enfoque no sólo ofrece la intuición para la deseada asintótico de la igualdad, y más allá de que aparentemente no es útil en nuestro contexto. Fabian enfoque parece el mejor para mí.