el número de cuadros pequeños en general

Question

Desde la página de la wiki catalana número, sabemos que el número de jóvenes cuadros cuyo diagrama es un rectángulo de 2 por n números distintos de $2n$ $C_n$. En general, dado el $m\times n$ distintos números, ¿cuántos cuadros jóvenes cuya figura es un rectángulo de $m\times n$ existen?

Además, ¿qué pasa si estos números se pueden repetir?

Muchas gracias.

Answer 1

Para la respuesta a tu pregunta principal, deberá utilizar la fórmula de longitud de gancho.

A060854 de OEIS da el resultado $$(mn)! \prod_{i=0}^{n-1} \frac{i!}{(m+i)!} \textrm{ or equivalently } (mn)! \prod_{j=0}^{m-1} \frac{j!}{(n+j)!} $ $ y algo más de información.

Answer 2

No es muy claro lo que quieres decir permitiendo que los números repetidos, pero lo que normalmente se considera que en este caso es de los llamados semi-estándar Jóvenes de cuadros, es decir, de cuadros que están aumentando (desigualdad estricta) hacia abajo en cada columna, pero sólo no decreciente (igualdad permitido) a lo largo de cada fila. El número de tales acuerdos en un determinado Jóvenes diagrama, donde los números de $1,2,\dots,N$ son permitidos, se contabiliza de la siguiente manera: definir el "contenido" de la caja de $(i,j)$ en el diagrama de ser $i-j$. He aquí una ilustración:

 0  1  2  3  4
-1  0  1  2
-2 -1  0
-3 -2
-4 -3
-5

Gancho de longitud se define como la costumbre de gancho-longitud de la fórmula para contar estándar Jóvenes de cuadros:

10  8  5  3  1
 8  6  3  1
 6  4  1
 4  2
 3  1
 1

Para obtener la respuesta, tomar el producto a través de todas las cajas de (($N$ más el contenido de la caja) dividido por (la longitud de gancho para que el cuadro)).

(Este es un caso especial de algo llamado Stanley hook-contenido de la fórmula.)