¿Cómo puedo demostrar $\int^{\pi}_{0} \frac{\cos nx}{1+\cos\alpha \cos x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{\sin \alpha} (\tan \alpha - \sec \alpha)^n $ ?

Question

El resultado que quiero mostrar es que para $n \in \mathbb{Z}$ , $$\int^{\pi}_{0} \frac{\cos nx}{1+\cos\alpha \cos x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{\sin \alpha} (\tan \alpha - \sec \alpha)^n $$

He hecho algunos intentos a través de las primeras técnicas que se me ocurrieron pero no he hecho ningún progreso significativo.

Answer 1

Una pista:

Utilice la siguiente relación

\begin{equation} \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha\cos x}=1+2\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{\sin\alpha-1}{\cos\alpha}\right)^k\cos(kx) \end{equation}

Se puede obtener escribiendo el coseno en el denominador del integrando en forma exponencial como

\begin{equation} \frac{A^2-B^2}{A^2-2AB\cos x+B^2}=\frac{A}{A-Be^{ix}}+\frac{Be^{-ix}}{A-Be^{-ix}} \end{equation}

donde utilizamos $A^2+B^2=1$ , $-2AB=\cos\alpha$ y la serie geométrica en forma de $\frac{1}{1-y}$ . A continuación, utilice las siguientes relaciones

\begin{equation} \int_0^\pi\cos nx\cos mx\ dx=\begin{cases} 0&, & \text{if}\ \ n\ne m \\[20pt] \dfrac{\pi}{2}&, & \text{if}\ \ n=m \end{cases} \end{equation}

Answer 2

Un enfoque es utilizar la integración de contornos.

Suponiendo que $0 <\alpha < \pi $ y $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ ,

$$ \begin{align}\int_{0}^{\pi} \frac{\cos nx}{1+ \cos \alpha \cos x} \, dx &= \frac{1}{2} \, \text{Re} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{inx}}{1+\cos \alpha \cos x} \, dx \\ &= \frac{1}{2} \, \text{Re} \int_{|z|=1} \frac{z^{n}}{1+ \cos \alpha \left(\frac{z+z^{-1}}{2} \right)} \frac{dz}{iz} \tag{1}\\ &= \frac{1}{\cos \alpha} \, \text{Re} \, \frac{1}{i} \int_{|z|=1} \frac{z^{n}}{z^{2}+2z \sec \alpha + 1 } \\ &= \frac{2 \pi}{\cos \alpha} \, \text{Re} \, \text{Res} \left[\frac{z^{n}}{z^{2}+2z \sec \alpha +1}, \tan \alpha - \sec \alpha \right] \\ &= \frac{2 \pi}{\cos \alpha} \, \text{Re} \, \frac{(\tan \alpha -\sec \alpha)^{n}}{2(\tan \alpha - \sec \alpha)+ 2 \sec \alpha} \tag{2}\\ &= \frac{\pi}{\sin \alpha} \left(\tan \alpha - \sec \alpha \right)^{n}.\end{align}$$

Para el caso $\alpha = \frac{\pi}{2}$ la parte derecha de la ecuación debe interpretarse como un límite.

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$(1)$ Dejemos que $z=e^{ix}$ .

$(2)$ El poste en $z= -\tan \alpha - \sec \alpha$ está fuera del círculo unitario ya que $0 < \alpha < \pi$ .