¿Qué cosas en nuestro universo pueden considerarse incalculables?

Question

Estoy tomando un curso de matemáticas que abarca la contabilidad. El truco con la incontabilidad de la línea real es que no importa cuántas veces dividas un intervalo, todavía habrá un número real dentro de ese intervalo de manera que incluso el intervalo más pequeño contiene "más que una cantidad infinita" de números.

Sin embargo, parece que nuestra "realidad" tal como la experimentamos en la Tierra no se comporta en absoluto como la línea real. Por ejemplo, el número total de hojas de hierba en un campo de fútbol es contable. De manera similar, la cardinalidad de toda la arena en la playa también es contable. Hormigas, hojas, cualquier cosa macroscópica. No solo contable sino finito.

Pero, ¿qué pasa con las cosas que son más pequeñas? Por ejemplo, números de electrones termoexcitados sobre una superficie, ¿o el número de fotones que golpean nuestra retina? ¿Qué son algunas cosas que realmente pueden considerarse incontables dentro de nuestro universo?

(Obviamente excluyendo la hipótesis del multiverso)

Answer 1

El hecho de que siempre encuentres un número entre otros dos números no es exclusivo de conjuntos incontables, como los números reales. Los números racionales son contables y también tienen esa propiedad. Todos los ejemplos que usaste son contables. Tanto los números reales como los números racionales no son conjuntos bien ordenados en su orden estándar (el orden en la recta real).

En física usamos conjuntos incontables de a lo sumo $\aleph_1$, la cardinalidad de los números reales. Aparecen naturalmente en nuestra descripción del espacio. Hay algunas personas que proponen que el espacio se describe mejor por un conjunto contable, o un espacio de mayor cardinalidad, como los números surreales. Pero por ahora la recta real funciona bien. La mayoría de las variables en física que están definidas o relacionadas con el espacio (probablemente la mayoría de las cantidades en física, como fuerzas, energía, temperatura, etc.) son de cardinalidad incontable, debido a que la incontabilidad de la recta real permea a través de ellas. Pero muchas otras variables son contables, como el número de partículas, etc. Sin embargo, no me siento capaz de darte una lista exhaustiva.

Answer 2

Tu argumento para la no contabilidad de la línea real no funciona, ya que mostraría que los racionales son no contables.

Tanto el número de hojas de hierba como el de granos de arena son finitos, por lo que no tienen nada que ver con el infinito.

Dices que la realidad "no se comporta en absoluto como la línea real"; sin embargo, el cálculo se utiliza para poner un cohete en la luna, o para hacer un sobrevuelo de Plutón, y un millón más de aplicaciones muy reales.

¿Afirmo que la realidad que percibimos es no contable? Para nada. De hecho, sería imposible poner a prueba tal hipótesis, porque todas nuestras mediciones son muy finitas. Pero toda la física, sorprendente como es, no es más que un modelo matemático. En la realidad que medimos no hay puntos, no hay ejes, no hay vectores, no hay hamiltonianos, no hay ecuaciones de onda, etc., etc. Estos son parte de estos maravillosos modelos matemáticos que, por razones que nadie entiende realmente, nos proporcionan predicciones muy precisas de cómo se comporta el mundo. Y resulta que muchos de estos modelos muy exitosos utilizan objetos no contables.

Answer 3

El número de estados potenciales de frustración geométrica para todas las posibles interacciones de partículas bosónicas y fermiónicas dentro de la esfera de Hubble desde t=0 se consideraría incalculable porque el límite de esta suma diverge. No sé si eso podría interpretarse como incluir el modelo del multiverso porque t=0 (Big Bang) a t=hoy (2016 d.C.) es finito.

Answer 4

No soy un experto en física, pero diría que la cantidad de frecuencias en un rayo de luz, o la cantidad de frecuencias en una onda de sonido, por nombrar un par. Estas se vuelven contables cuando se discretizan, como hacen los ordenadores para almacenar la información. Los fenómenos naturales son continuos, sin embargo, y diría que contienen una cantidad infinita no contable de "partes".

Answer 5

Además del hecho de que tu definición de incontabilidad es incorrecta, como muchos otros señalaron, diría que hay algo en nuestro mundo físico que podría ser incontable, e incluso tener la cardinalidad del continuo (es decir, la cardinalidad de los números reales): Estoy hablando del espaciotiempo.

En el marco de la física clásica y la relatividad general, el número de puntos en el espaciotiempo se trata como un conjunto continuo, es decir, un conjunto con la misma cardinalidad que los números reales. Pero en algunos modelos de gravedad cuántica, el espaciotiempo se vuelve discreto en escalas diminutas: escalas del orden de la longitud de Planck, $l_P \simeq 1.62 \cdot 10^{-35}$ m.

Por supuesto, es extremadamente difícil sondear la propiedad del espaciotiempo en esas escalas tan pequeñas, por lo que actualmente no sabemos realmente si el espaciotiempo es continuo o no. Pero si lo es, sería un ejemplo de una entidad incontable en la física.

Ver también esta pregunta y este artículo.