Probabilidad binomial con suma

Question

Mostrar que

$$\sum_{k=0}^{m} \frac{m!(n-k)!}{n!(m-k)!} = \frac{n+1}{n-m+1}$$

Intento:

Se convierte en:

$$\sum_{k=0}^{m } \frac{\binom{m}{k}}{\binom{n}{k}}$$

Telescópica, de emparejamiento, teorema del binomio no parecen funcionar

Posiblemente una combinatoric la prueba?

Teniendo en cuenta que las tarjetas de números 1, 2, 3, 4, ... , m, .... , n de la tabla. Debemos escoger k cartas del n de la tabla.

La probabilidad de que se escoja estos k tarjetas de la primera m

$$P(k) = \frac{\binom{m}{k}}{\binom{n}{k}}$$

Por ello la suma de estas probabilidades nos dará el lado izquierdo.

Ahora hay una buena manera de hacer esto la probabilidad de una forma diferente a ceder el RHS?

Answer 1

Computar esta suma para esta respuesta por inducción en $m$:

La fórmula es trivial verdad $m=0$. Asumir es verdad $m-1\le n-1$: $$\begin{align} \sum_{k=0}^m\frac{\binom{\vphantom{1+}m}{k}}{\binom{\vphantom{1+}n}{k}} &=1+\sum_{k=1}^m\frac{\frac{\vphantom{1+}m}{k}\binom{m-1}{k-1}}{\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}}\\ &=1+\frac{m}{n}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\binom{m-1}{k}}{\binom{n-1}{k}}\\[6pt] &=1+\frac{m}{n}\frac{n}{n-m+1}\\[9pt] &=\frac{n+1}{n-m+1} \end {Alinee el} $$ por lo tanto, es válido para todas las $m\le n$.

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Sin embargo, si trabajamos de comentario de Mark Bennet, conseguimos $$\begin{align} \sum_{k=0}^m\frac{\binom{\vphantom{1+}m}{k}}{\binom{\vphantom{1+}n}{k}} &=\frac1{\binom{\vphantom{1+}n}{m}}\sum_{k=0}^m\binom{n-k}{n-m}\binom{k}{0}\\[6pt] &=\frac{\binom{n+1}{n-m+1}}{\binom{\vphantom{1+}n}{m}}\\[6pt] &=\frac{\frac{n+1}{n-m+1}\binom{\vphantom{1+}n}{n-m}}{\binom{\vphantom{1+}n}{m}}\\[6pt] &=\frac{n+1}{n-m+1} \end {Alinee el} $$