Problema de pollo de Terry Tao ' s blog (sistema de ecuaciones de Diophantine)

Question

Este problema fue publicado por Terry Tao en su blog antes. Es realmente de su hijo en Matemáticas Círculo. Le tomó $15$ minutos para resolverlo. Supongo que todos podemos tomar una grieta en ella.

Tres agricultores vendían pollos en el mercado local. Un granjero tenía $10$ pollos para vender, otro de $16$ pollos para vender, y la última fue de $26$ pollos para vender. Con el fin de no competir el uno con el otro, acordaron todos vender sus pollos en el mismo precio. Pero a la hora de almuerzo, se decidió que las ventas no iban tan bien, y todas decidieron bajar sus precios para el mismo precio más bajo. Al final del día, se habían vendido todos sus pollos. Resultó que todos ellos recogidos en la misma cantidad de dinero, $\$35$, desde el día del pollo a la venta. ¿Cuál fue el precio de los pollos antes de la hora del almuerzo y después de la hora del almuerzo?

Answer 1

Si $u>v>w$ es el número de pollos que los tres agricultores vendieron al precio más alto, luego, por la linealidad*, $(26-16)(u-v) = (16-10)(v-w)$, y por lo que $u-v$ es divisible por $3$ y $v-w$ es divisible por $5 dólares. De ello se sigue que $(u,v,w) \en \{(8,5,0),(9,6,1), (10,7,2)\}$.

Sólo la mitad de la solución da a los precios que pueden ser medidos en DÓLARES (o la mayoría de las monedas), es decir, $\$3.75$ y $\$1.25$.

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* Elaborar en este punto: Si un agricultor comienza con $n$ pollos, se vende $f(n)$ en el mayor punto de precio de $A$ y $n-f(n)$ en el precio más bajo $B$, y obtiene un beneficio de $P$, entonces los puntos $(n,f(n))$ son colineales (suponiendo que $a,B,P$ son constantes).

Esto es debido a que estos puntos son las soluciones a una ecuación lineal en dos variables, es decir, $Af(n) + B(n-f(n)) = P$. Una línea de pendiente constante, de manera que la ecuación en mi primer párrafo de la siguiente manera.

Answer 2

Aquí, $x,$ y son los precios antes y después del almuerzo, $k,l,m$ son el número de vendidos pollos antes del almuerzo. Y $x>y>0$.

$ \left\{ \begin{array}{l} kx+(10-k)y=35 \\ lx+(16-l)y=35 \\ mx+(26-m)y=35 \end{array} \right. $

Restar la segunda y la tercera desde el primer da

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} (k-l)x(6+(k-l))y=0 \\ (k-m)x-(16+(k-m))y=0 \end{array} \right. $

Multiplicar para eliminar $x$ da

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} (k-m)(k-l)x=(k-m)(6+(k-l))y \\ (k-l)(k-m)x=(k-l)(16+(k-m))y \end{array} \right. $

Lo que implica

$(k-m)(6+(k-l))=(k-l)(16+(k-m))\implica$ $6(k-m)=16(k-l)\implica$ $16l-6m=10k$

$(1)\quad 8l=5k+3m$

[Aquí no puedo encontrar nada mejor que la solución de la diophantic ecuación y prueba. Y supongo que $100x,100y$ deben ser números enteros.]

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Después de algunas horas de sueño:

• la única explicación de los resultados es que $k>l>m$
• (1) se dice que $5k+3m$ debe ser divisible con $8$, lo que da $3$ alternativas

$$ \begin{array}{rrr} k & l & m \\ \hline 10 & 7 & 2 \\ 9 & 6 & 1 \\ 8 & 5 & 0 \end{array} $$ Sólo $k=9,l=6,m=1$ y le da sentido

$\displaystyle y=\frac{5}{4}=1.25$ y

$\displaystyle x=\frac{15}{4}=3.75$

Answer 3

No parece ser una solución única a este problema: hay dos $5$-tuplas $(x,y,z,p,q)$ satisfacer las condiciones dadas, es decir, $$(x,y,z,p,q) \en \left\{\left(8,5,0,\tfrac{105}{26},\tfrac{35}{26}\right) \left(9,6,1,\tfrac{15}{4},\tfrac{5}{4}\right)\right\}.$$ No se afirma que todos los agricultores vendieron al menos un pollo antes de la hora del almuerzo, y la diferencia entre la primera y la segunda solución (un pollo cada uno) no es, en mi opinión, subjetivamente lo suficientemente grande como para justificar diciendo que los agricultores estaban descontentos con el ritmo de ventas para el primero pero no el último. La única plausible diferencia cualitativa entre las soluciones es que la última corresponde a una cantidad exacta hasta el último centavo; el primero no (pero, ¿por qué este asunto desde un punto de vista matemático?). Una completa solución no es difícil, aunque puede ser un poco tedioso para obtener, pero una de las claves para derivar la Diophantine condición $$5x - 8y + 3z = 0,$$ en conjunción con la evidente restricción de $10 \ge x > y > z \ge 0$.

Answer 4

Yo lo hice con el diagrama de arriba, ahora, por supuesto, está dibujado a escala.

Los dos rectángulos rojo (más de) $QH$ & $HC$, rectángulos verdes $AH$ & $HD$, rectángulos azules $BH$ & $$ representar a tres de los agricultores de ingresos. El eje horizontal representa el número de pollo se vende, y la altura es el precio al cual el agricultor vende el pollo. Naturalmente, $H$ representa el punto en el que los agricultores deciden bajar el precio.

El rectángulo más de $QA$ tiene la misma área que más de $CD$ y lo mismo $AB$ y $DE$. Por lo tanto $QA:AB=CD:DE=CD-QA:DE-AB=16-10:26-16=3:5$, y $QA+AB\le de 10$. Por lo que $QA=3,AB=5$. Esto le da $CD=9,DE=15$, lo que significa que la proporción de los dos precios es de $3:1$. Desde $BC=2$, probamos todas las posiciones posibles de $H$, para obtener el que se muestra en la figura, porque da unos precios razonables, como se calcula a continuación:

Si $x$ es el precio de partida, luego $9 x+\frac{x}{3}=35$ y $x=3.75$. El precio final es de $1.25$.