Encontrar el límite como x el infinito de aproximaciones de funciones exponenciales

Question

$$\lim_{x\to\infty}{3^x\over \sqrt {9^x - 4^x}}$$

¿Puede terminar un uso comportamiento para solucionar esto? ES DECIR

$$\lim_{x\to\infty}{\sqrt{3^{2x}\over (3^{2x} - 2^{2x})}}$$

¿y por lo tanto dividir $3^{2x}$ $3^{2x}$? ¿dejándonos con una salida de $1$?

Answer 1

SUGERENCIA. Sí, tenga en cuenta que: $${\sqrt{3^{2x}\over (3^{2x} - 2^{2x})}}={\sqrt{3^{2x}\over 3^{2x}\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{2x}\right)}}$ $ e $\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}\rightarrow 0$.

Answer 2

Para su problema existe una solución sencilla.

$$ \lim_{x \to \infty^{+}} \frac{3^x}{\sqrt{9^x - 4^x}} = \lim_{x \to \infty^{+}} \frac{3^x}{\sqrt{(3^2)^x( 1 - \frac{4^x}{9^x})}} = \lim_{x \to \infty^{+}} \frac{3^x}{\sqrt{(3^x)^2} \cdot \sqrt{1 - \frac{4^x}{9^x}}} = \\ = \lim_{x \to \infty^{+}} \frac{3^x}{3^x \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{4}{9}\right)^x}} = \lim_{x \to \infty^{+}} \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{4}{9}\right)^x}} = 1$$

He utilizado aquí hecho, que $|q| < 1 \Rightarrow \lim_{x \to \infty}q^x=0$. De hecho, es la misma que la tuya, pero me excluido $3^x$ desde la raíz, sólo se incluye.

Answer 3

Sugerencias:

$$\begin{align*}&(1)\;\;\sqrt{9^x-4^x}=3^x\sqrt{1-\left(\frac49\right)^x}\\{}\\&(2)\;\;|a|<1\implies a^x\xrightarrow[x\to\infty]{}0\end{align*}$$