Demostrar

Question

$a,b,c >0$, prueba %#% $ #%

Lo he intentado:
1) parece una desigualdad de Nesbitt. Pero intentaron imitar algunas pruebas de Nesbitt pero no tuvo éxito.
2) actualización: sugerencia de Frank siguientes: la desigualdad es homogénea y puede asumir $$\sqrt[2]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}} \geqslant \frac{7}{12} \cdot2^{\frac67} \cdot 3^{\frac47}$para reducir variables. 3) prueba en Excel un montón de pares$a+b+c=1$ y convencido a mí mismo la desigualdad es cierto y puede ser factible.
4) probar la desigualdad de Bernoulli pero fallado miserablemente.

Answer 1

Reducir a $$\Big(\frac{7}{12} \cdot2^{\frac67} \cdot 3^{\frac47}-a-c\Big)^3({c^4+a^2-2})\leqslant1$$ by first $a+c=1-b$ and then replacing $a$ by $1/a^2$ and $c$ by $1/c^4$.

Puesto que $\frac{7}{12} \cdot2^{\frac67} \cdot 3^{\frac47}<2$ probar un mejor $$(2-a-c)^3(c^4+a^2-2)\leq1$$ by making $a\rightarrow0^+$ and $c\rightarrow2^-$ la desigualdad que es el peor de los casos.