No álgebra de mentira encima $\Bbb R$ o $\Bbb C$ puede tener un elemento de unidad.

Question

quiero probar: No álgebra de mentira encima $\Bbb R$ o $\Bbb C$ puede tener un elemento de unidad.

Ahora no sé cómo tomar esto en relación con el soporte de la mentira. Es decir, tengo ahora idea donde empezar. ¿$[x,e]=[e,x]=x$ o algo? No tiene sentido para mí, ya que sólo estamos ante un soporte abstracto parece.

Answer 1

¿Si $[x,e]=[e,x]$, entonces lo que hace el antisymmetry del soporte decirle mentira?

Answer 2

También contradiría identidad de Jacobi. Si su Álgebra de mentira es comutativo, entonces claramente no tienes que $[x,e]=x$ salvo $x=0$ $[x,e]$ tendría que ser $0$. Si es no conmutativa (es decir que $x,y$ en la álgebra de mentira tenemos que $[x,y]\neq 0$), entonces la identidad de Jacobi diría

$$0 = [x,[y,e]] + [y,[e,x]] + [e,[x,y]] = [x,y] + [y,x] + [x,y] = [x,y]$$

por la simetría. Esto es para todas las $x,y$ en la álgebra de mentira que es una contradicción.

Answer 3

Si $[e,x]=x$ % todo $x$, ¿qué puede concluir de $0=[e,e]$?