Eigenstates de un operador de campo hermítica

Question

Considere la posibilidad de un Hermitian operador de campo $\phi(x)$ con autoestados de satisfacciones $$\phi(x) |\alpha\rangle = \alpha(x) | \alpha \rangle$$ Estoy tratando de determinar el producto interior entre los autoestados. Para ello, considero que $$\langle\beta|\phi(x)|\alpha\rangle = \alpha(x)\langle\beta|\alpha\rangle = \beta(x)\langle\beta|\alpha\rangle$$ lo que implica $$\left[ \alpha(x) - \beta(x) \right] \langle\beta|\alpha\rangle = 0\hspace{3cm} (1)$$ P. ¿Cuál es la solución a esta ecuación?

A partir de la ecuación, deduzco que $\langle\beta|\alpha\rangle = 0$ siempre $\alpha(x) \neq \beta(x)$ cualquier $x$ y por lo tanto tiene soporte sólo al $\alpha(x) = \beta(x)$. ¿Cómo puedo representar esto?

Es obvio que esto implica $$\langle\beta|\alpha\rangle \propto \delta \left[ \alpha(x) - \beta(x) \right]$$ Esta solución parece raro ya que parece dar a entender que la norma de la eigenstate es "infinito" (ingenuamente!), pero esto no siga de $(1)$.

Sé que hay muchas sutilezas aquí cuando se trata con infinitas dimensiones de Hilbert espacios. La solución puede estar en una de esas sutilezas. Alguna idea?

Answer 1

La relación

$$\langle a|b\rangle\propto\delta(a-b)$$

no es nada extraño, es simplemente una condición de ortogonalidad. Si la proporcionalidad fue una igualdad, y además tuvimos la integridad, el conjunto de estados que forman una base ortonormales. La razón por la que la función delta de muestra es que se asume que el operador tiene un espectro continuo de valores propios.

Estamos trabajando con un vector de espacio, sólo parece natural que debe haber alguna manera para definir una condición de ortogonalidad. El delta de distribución, como un funcional lineal sobre el espacio de Hilbert, proporciona la estructura adecuada para que. Si usted se preocupa por infinitos, hay dos cosas a tener en cuenta: formalmente, la función delta no es realmente infinito, ya que no es estrictamente definido sólo en virtud de una integral. Esto es debido a su naturaleza como una distribución. La otra cosa es que no es un observable cantidad de todos modos: ¿qué es físicamente relevantes son los autovalores de los operadores y de las probabilidades.

Answer 2

Los pasos que anotó hasta la ecuación 1 es en realidad una prueba simple del teorema siguiente (que puede consultarse en libros de texto elementales de la mecánica cuántica):

Funciones Eigen (de un operador de hermítica o más generalmente un operador simétrico en un espacio de Hilbert separable) pertenecientes a autovalores distintos son ortogonales.

Esto es siempre cierto para los espacios de Hilbert separables (que tiene una base contable), por ejemplo el Hilbert espacio $L^2$ de funciones cuadrado integrables.