$\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{r}{n})^n$ es igual a ${e^{r}}$?

Question

Desde $$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n={e}$$

Mi fuerte corazonada es que la siguiente declaración también debe ser cierto $$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^n = {e^{r}}$$ para todos los $r>0$.

Pero puedo ni probar ni refutar, cualquier idea sobre cómo demostrarlo? O si la afirmación no es verdadera, ¿cómo debería ser modificado de modo que es cierto?

Answer 1

Su corazonada es correcta. Dejando $u = \frac{n}{r}$, tenemos: $$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^n &= \lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n/r}\right)^r\\ &= \lim_{u\to\infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^r\\ &= \left(\lim_{u\to\infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^r\\ &= e^r. \end{align*}$$

Answer 2

Otra forma de ver esto. Supongamos que $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{r}{n}\right)^n = L.$$ Permítanos calcular el $\ln(L)$:

$$\begin{align*} \ln(L) &= \ln\left(\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{r}{n}\right)^n \right)\\ &=\lim_{n\to \infty} \ln\left(\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)\\ &=\lim_{n\to \infty} n\ln\left(1+\frac{r}{n} \right)\\ &=\lim_{n\to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{r}{n} \right)}{\frac{1}{n}}\\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{r}{n}}\cdot\frac{-r}{n^2}}{-\frac{1}{n^2}}\\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{r}{1+\frac{r}{n}}\\ &=r, \end{align*}$$ donde hemos utilizado el hecho de que $\ln(x)$ es continua en a $(0,\infty)$, y la regla de l'Hôpital. Por lo tanto, $\ln(L)=r$, o lo que es equivalente, $L=e^r$.