Si se necesitan 5 puntos para determinar una cónica, ¿por qué solo se necesitan 3 para determinar una parábola?

Question

Apenas estaba leyendo sobre cómo 5 puntos son necesarios y suficientes para determinar una sección cónica en geometría euclidiana (https://en.wikipedia.org/wiki/Five_points_determine_a_conic). Pero si las parábolas son secciones cónicas, y si 3 puntos son suficientes para determinar una parábola (ya que podemos resolver el sistema resultante de ecuaciones para la constante de la ecuación de la parábola, el coeficiente de $x$, y el coeficiente de $x^2$), ¿cómo puede ser que sean necesarios 5 puntos para determinar cualquier sección cónica?

Answer 1

Ilustrando un comentario a la propia respuesta de OP.

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Se muestra toda una familia de parábolas a través de tres puntos, lo que indica que solo tres puntos no determinan una parábola.

Como mencioné en mi comentario, una cónica en el plano coordenado tiene cinco características: excentricidad, escala, orientación, ubicación en $x$, ubicación en $y$. Nuestro interés en las parábolas especifica una característica (excentricidad $=1$); los puntos representan otras tres características; y la animación pasa por los aspectos de la quinta (aquí, orientación).

Answer 2

EDITAR 1:

5 puntos para una cónica. Una parábola tiene $\epsilon=1, B^2 - 4 A C =0 $ que reduce el número de constantes/ecuaciones a 4.

$$ A x^2+ 2 \sqrt {A\,C} x y+C y^2+D x+E y= 1 $$

Esto se puede expresar en la forma haciendo que $y$ sea sujeto de la ecuación de la parábola:

$$ y = (a x + b) \pm \sqrt { c x + d }$$

Si se fijan 3 constantes, es posible una familia de parábolas de un solo parámetro como en el ejemplo graficado:

$$ y = 2 x - 5 \pm \sqrt {3 x + 2 t} $$

Solo 3 constantes no son adecuadas para determinar una parábola general.

Answer 3

Como puedes ver en la imagen a continuación, si estás definiendo una cónica, se requiere conocer cinco puntos. Las cónicas a continuación comparten tres puntos (negro), pero necesitan dos más para definir qué son.

Si estamos tratando de simplemente definir una parábola, solo se necesitan tres puntos porque sabemos que es una parábola, y no puede ser una elipse o una hipérbola -- ¡porque decidimos que estamos haciendo una parábola!

Answer 4

Gracias a Mikhail por sugerir que saber desde el principio que la curva es una parábola te permite determinar el tipo específico de parábola que es en menos de cinco puntos. Creo que esta es la explicación más satisfactoria, porque dados tres puntos en un plano también hay un círculo único que pasa por ellos, ya que la ecuación del círculo es

$(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 $,

así que saber tres puntos $(x, y)$ nos permite resolver para $a, b$ y $r$.

Dado que los círculos también son secciones cónicas, claramente tres puntos no son suficientes para determinar si la curva es una parábola o un círculo.

Algunos sugirieron que son necesarios más puntos para conocer la "dirección/orientación" de la parábola. Puede haber algo en esto. De hecho, creo que la ecuación extendida para las parábolas (que pueden estar rotadas) es

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey= F$,

así que parece que quizás seis puntos pueden ser necesarios para determinar algunas parábolas? En cualquier caso, si tenemos que esta es la forma de la ecuación para una curva, ni siquiera hemos eliminado la posibilidad de que sea un círculo hasta que mostremos que ya sea $B$, $D$ o $E$ $\neq{0}$, por lo que esto ilustra el primer problema que mencioné: necesitar solo tres puntos se basaba en la suposición inicial de que estábamos tratando con una parábola.

Todo esto plantea la pregunta de si 5 puntos determinan una sección cónica después de que sepas que estás tratando con una sección cónica en primer lugar, o antes - es decir, si se necesitan más puntos para determinar que la curva definida por estos 5 puntos es de hecho una sección cónica y no algo completamente diferente.