El anillo con 10 elementos es isomorfo a $ \mathbb {Z}/10 \mathbb {Z} $

Question

¿Cómo pruebo que un anillo finito $R$ de orden 10 es isomorfo al anillo $ \mathbb {Z}/10 \mathbb {Z}$ ?

Sé que como grupo bajo adición, $(R,+)$ es isomorfo para el grupo $( \mathbb {Z}/10 \mathbb {Z}, + )$ pero la multiplicación es bastante misteriosa para mí.

Answer 1

Asumo que tu definición de "anillo" requiere un elemento de unidad, que escribiré como $1$ (sin ese requisito, la afirmación es falsa: se podría hacer que todos los productos sean $0$ ). Ahora si $1+1=0$ tendríamos $r+r = (1+1) \cdot r = 0$ para todos $r \in R$ pero entonces el orden del grupo aditivo de $R$ no podría ser $10$ . De la misma manera, $1+1+1+1+1$ no puede ser $0$ . Así que $1$ debe tener orden $10$ en el grupo de aditivos de $R$ y todos los miembros de $R$ son $0, 1, 2=1+1, \ldots , 9=1+1+1+1+1+1+1+1+1$ . Expandirlo, cualquier $i \cdot j$ es la suma de $i j$ $1$ y esto es $k$ donde $k \equiv i j \mod 10$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que si $1+1=0$ entonces $ \mathrm {char}R =2$ y el grupo aditivo si tendrá orden $10$ entonces debería tener un subgrupo de orden $5$ que es cíclico y generado por $x$ . Pero $x^2=x+x=0$ contradicción.