La eliminación de un solo punto altera homología

Question

Deje $X$ ser un espacio en el que los grupos de homología son finitely generado. Con el fin de evitar casos triviales, supongamos que $X$ no es un singleton. Debe existir un punto de $p \in X$ tal que $X\setminus\{p\}$ no tiene la misma homología de grupos como $X$? Esto parece inverosímil, pero he sido incapaz de pensar de un contraejemplo. Parece que a la mayoría de los "habituales" de los espacios se considera, por ejemplo. esferas, tori, $\mathbb R^n$, y en diversos productos y de la cuña de las sumas de los mismos. Alguna idea?

Answer 1

Un ejemplo sencillo, aunque tal vez no lo tenía en mente, es dejar que $X$ ser cualquier conjunto con el grueso de la topología, y con al menos dos puntos. La eliminación de un punto de $X$ también heredarán el grueso de la topología, y la homología de grupos será el mismo que el de un solo punto en los dos casos.