Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua y $[a,b]\subset f([c,d])$, ¿cómo demostrar que hay algunos $[r,s]$ tal que $f([r,s])=[a,b]$?

Question

Deje $f:\mathbb R\to\mathbb R$ cumplir con lo siguiente:

• $f$ es continua
• existen cerrado intervalos de $[a,b]$ $[c,d]$ tal que $[a,b]\subset f([c,d])$

Cómo demostrar que no existe $[r,s]\subset [c,d]$ tal que $f([r,s])=[a,b]$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Seleccione $x_1,x_2\in[c,d]$ con $f(x_1)=a$, $f(x_2)=b$. Wlog. $x_1<x_2$ (o de intercambio de $\min$ $\max$ en lo que sigue). El conjunto $f^{-1}(b)\cap[x_1,d]$ es compacto, por lo tanto, podemos dejar $s=\min(f^{-1}(b)\cap[x_1,d])$ y de manera similar a $r=\max(f^{-1}(a)\cap[c,s])$. A continuación, $[a,b]\subseteq f([r,s])$ por el teorema del valor intermedio y, por otro lado si $f(x)<a$ algunos $x\in[r,s]$ entonces no es $\xi\in(x,s)$ $f(\xi)=a$ (de nuevo por IVT), contradiciendo maximality de $r$. Del mismo modo, si $f(x)>b$,$\xi\in(r,x)$$f(\xi)=b$, contradiciendo minimality de $s$. Por lo tanto,$f([r,s])=[a,b]$.

Answer 2

Edit: esto Zorn enfoque vinieron muy natural, así que voy a dejar. Pero cuando uno se demuestra rigurosamente el último paso, uno se da cuenta de que Zorn no es necesario. Y uno termina haciendo Hagen von Eitzen de la prueba.

Consideremos el conjunto a $S$ de todos los compactos de los intervalos de $I\subseteq [c,d]$ tal que $[a,b]\subseteq f(I)$.

Por supuesto, $[c,d]$ pertenece a $S$ que por lo tanto es no vacío.

Ahora $S$ está parcialmente ordenado por la inclusión.

Uno puede comprobar que cada cadena tiene una cota inferior en $S$: basta tomar la intersección de los elementos de la cadena.

Por Zorn, existe un mínimo elemento $I_0$$S$.

De curso $[a,b]\subseteq f(I_0)$.

Por minimality, debemos tener $[a,b]=f(I_0)$.