Enumeraciones sumables de $\Bbb Q$

Question

Decimos que un conjunto de números naturales $A$ es sumable si $\sum_{n\in A}\frac1n$ es finito. No es difícil ver que $\{A\subseteq\Bbb N\mid A\text{ is summable}\}$ es un ideal en $\Bbb N$ :

• Los subconjuntos de conjuntos sumables son sumables.
• La unión de dos conjuntos sumables es sumable.
• La intersección de cualquier número de conjuntos sumables es sumable.
• Todo conjunto finito es sumable.
• $\Bbb N$ no es sumable.

Dada una enumeración de $\Bbb Q$ decimos que es sumable en $q$ o que $q$ es un punto sumable para la enumeración, si $\{n\mid q_n<q\}$ es sumable. Y la enumeración es sumable si es sumable en cada punto racional.

No es difícil ver que si $A$ es un conjunto infinito sumable, entonces podemos elegir cualquier $q\in\Bbb Q$ y podemos encontrar una enumeración de $\Bbb Q$ tal que $A=\{n\mid q_n<q\}$ (basta con tomar una biyección entre $A$ y $\{p\in\Bbb Q\mid p<q\}$ y una biyección de $\Bbb N\setminus A$ con $\{p\in\Bbb Q\mid q\leq p\}$ como la enumeración). Así que cada racional es un punto sumable para la enumeración.

Pregunta. ¿Existe una enumeración sumable de $\Bbb Q$ ?

Esto puede traducirse en una pregunta algo más teórica sobre el ideal de los conjuntos sumables:

Pregunta (Reinterpretada). ¿Existe una partición infinita de $\Bbb N$ en infinitos conjuntos sumables?

Si la respuesta es positiva, entonces tomando dicha partición en $A_n$ podemos enumerar los racionales negativos mediante $A_0$ entonces los racionales en el intervalo $[n-1,n)$ por $A_n$ para $n>0$ . No es difícil ver que esta enumeración es sumable; y viceversa, si se nos da una enumeración sumable, este método produce una partición infinita de $\Bbb N$ en infinitas enumeraciones sumables.

Answer 1

Sea $A$ sea algún conjunto infinito sumable, digamos, $A=\{1,10,100,\dots\}$ .

Partición $A$ en infinitos subconjuntos infinitos disjuntos $A_1,A_2,A_3,\dots$ .

Sea $\mathbb N\setminus A=\{b_1,b_2,b_3,\dots\}$ .

Entonces $\mathbb N$ es la unión de los conjuntos infinitos sumables disjuntos
$$A_1\cup\{b_1\},A_2\cup\{b_2\},A_3\cup\{b_3\},\dots.$$

Answer 2

He aquí otra versión de la pregunta reinterpretada:

Sea $A_0 = \{a^2 : a \in \mathbb{N}\}$ sea el conjunto de todos los cuadrados perfectos. Sea $A_1 = \{a + 1: a \in A_0\} - A_0$ . E inductivamente, defina $$A_n = \{a + n: a \in A_0\} - \bigcup_{i < n} A_i$$

Así que esto sólo desplaza los cuadrados perfectos, y desecha todo lo que ya se había visto. Dado que los cuadrados crecen a una distancia arbitraria, cada uno de estos conjuntos será no vacío (y de hecho infinito), y son sumables ya que están espaciados igual que los cuadrados perfectos.

Tampoco es difícil ver que se trata de una partición de $\mathbb{N}$ .

Answer 3

Para cada número natural $n \ge 1$ definir su apoyo $\text{supp}(n)$ el conjunto de divisores primos de $n$ . Obtenemos un mapa suryectivo de $\{1,2,3, \ldots,\}$ al conjunto de las partes finitas del conjunto de los números primos. $$\text{supp} \colon \mathbb{N}_{>0} \to \mathcal{P}_{fin}(P)$$ Cada subconjunto finito no vacío de $P$ (los primos ) tiene una fibra infinita que es claramente sumable (prueba de Euler de la infinitud del número de primos), con una suma fácil de calcular ( un producto de series geométricas).

Obtenemos así una partición natural del conjunto de los números naturales $>1$ en una familia contable de conjuntos infinitos sumables.

Answer 4

He aquí una respuesta a su pregunta reinterpretada.

Asociar a cada número natural $m$ excepto $0$ y $1$ la pareja $(p,k)$ tal que

1. $p$ es el menor primo que aparece en la factorización de $m$ ,
2. $m = p^n k$ para algunos $n$ y
3. $p$ no divide $k$

Sea $A_{p,k}$ sea el conjunto de los números naturales asociados a $(p,k)$ . Es no vacío siempre que $p$ es primo y todos los primos que dividen a $k$ son mayores que $p$ . Entonces $A_{p,k} = \{p^nk\mid n\geq 1\}$ que es sumable - es una serie geométrica.

Esto da una partición infinita de $\mathbb{N}\setminus \{0,1\}$ en infinitos conjuntos sumables. 0 no puede estar en ningún conjunto sumable, por lo que es mejor dejarlo fuera, pero se puede añadir $1$ a cualquiera de los conjuntos $A_{p,k}$ y seguirá siendo sumable.

Answer 5

Una pregunta muy bonita (como se desprende del gran número y la diversidad de las respuestas ya dadas). Hay otra solución que se me ha ocurrido, pero me parece tan obvia que me pregunto por qué nadie la ha publicado todavía. ¿Me habré equivocado en la definición? En cualquier caso, aquí está:

Para un número entero no negativo $n\in\mathbb{N}_0$ , dejemos que $P_n=\{(2n+1)\cdot2^k\,|\,k\in\mathbb{N}_0\}$ . Entonces los conjuntos $P_0$ , $P_1$ ... forman una partición infinita de $\mathbb{N}$ en infinitos conjuntos sumables.