Cuando son números complejos insuficiente?

Question

Racionales no puede solucionar $x^2=2$, y los reales no puede solucionar $x^2=-1$. Hay algún problema que no pueda resolverse mediante números complejos, pero pueden ser resueltos por los no-estándar de los números?

Cada polinomio con coeficientes en $C$ puede ser resuelto por los números en $C$, puede cada ecuación* ser resueltos por los números en $C$?

*(que no puede ser simplificada a $1=0$)

Answer 1

Como $\mathbb{C}$ es conmutativa, no conmutativa problemas no pueden ser resueltos en el mismo.

E. g. $A \cdot B - B \cdot A = I.$

Ecuaciones como este son fundamentales para la Mecánica Cuántica y Álgebras de Lie.

Sin embargo, las matrices generalmente son no-conmutativa, por lo que las matrices de más de $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ son capaces de resolver estas ecuaciones. Como puede cuaterniones, entre otros.

EDIT: Usted dice que usted está buscando no estándar de los números. Sugiero echar un vistazo a Cuaterniones? Son el siguiente paso lógico después de $\mathbb{C}$. La Wikipedia entrada puede ser un buen punto de partida. Cuaterniones son un poco fuera de moda, pero en teoría e históricamente, son importantes.

Answer 2

El problema, "encontrar un número estrictamente mayor que cero, pero estrictamente menor que todo número $1/n$ $n=1,2,3,\dots$" no pueden ser resueltos en los números complejos, pero pueden ser resueltos en la no-estándar de los números.

Answer 3

Me gustaría responder a la pregunta "¿hay algún problema que no pueda resolverse mediante números complejos, pero pueden ser resueltos por los no-estándar de los números?" Ya que una de las etiquetas es "no estándar" análisis, voy a interpretar esto como la aplicación de la los números no estándar en el que la teoría, a saber, la hyperreals. De vuelta a la pregunta: un importante problema de que el hyperreals permiten resolver, está relacionada con la derivada de una función a una proporción de infinitesimals, como fue hecho por Leibniz, un co-fundador de cálculo infinitesimal.