Mostrar que una función real es convexo

Question

¿Cómo puedo demostrar que si $\varphi$ es una función real tal que $$\varphi \left(\int_0^1 f\right)\leqslant \int_0^1 \varphi (f)$$ para cualquier Borel medible función real $f$, $\varphi$ es convexa.

Ps: me doy cuenta de la tarea preguntas tienen que ser etiquetados como tales. Esta no es una tarea problema. Me encontré con esta pregunta en un libro de texto, y pensé que era interesante.

Answer 1

Puede verificar la definición de la convexidad directamente mediante la adopción de un adecuado $f$. Dado $x_1, x_2 \in \mathbb R$$t \in [0,1]$, podemos aplicar la hipótesis de que el paso de la función de $f : [0,1] \to \mathbb R$ dada por $$ f(s) = \begin{cases} x_1, &0 \leqslant s \leqslant t, \\ x_2, &t \lt s \leqslant 1. \end{casos} $$ Esto nos da $$ \varphi\left(\int_0^t x_1 ds + \int_t^1 x_2 ds \right) \leqslant \int_0^t \varphi(x_1) ds + \int_t^1 \varphi(x_2) ds $$ $$ \implica \quad\varphi(tx_1 + (1-t)de x_2) \leqslant t \ varphi(x_1) + (1-t) \ \varphi(x_2), $$ que es lo que queremos demostrar.

Answer 2

Supongo que $\varphi:[0,1]\to\mathbb R$.

Definición de convexo es: Para cada una de las $\alpha\in[0,1]$, y para cada uno de los $x$, $y$ la desigualdad $$\varphi(\alpha x+(1-\alpha)y) \le \alpha \varphi(x) + (1-\alpha) \varphi(y).$$

Intente utilizar la siguiente medida: $$\mu(A) = \alpha \chi_{\{x\}}(A) + (1-\alpha) \chi_{\{y\}}(A)$$ y la función de $f(x)=x$.

Aquí $\chi_B$ denota la función característica del conjunto $B$ (.k.una. indicador de función). La medida de $\mu$ es básicamente una combinación convexa de dos Dirac medidas de $\delta_x$ $\delta_y$ , es decir, $$\mu(A)=\alpha \delta_x(A)+ (1-\alpha) \delta_y (A).$$

Para demostrar que esto implica que la convexidad es suficiente para mostrar que para cualquier función de $g$ hemos $$\int g \mathrm{d}\mu = \alpha g(x) + (1-\alpha) g(y).$$

---

EDIT: he entendido la pregunta de la siguiente manera: Supongamos que la desigualdad de Jensen tiene arbitrarias de medida y arbitray $\varphi$, $f$. Entonces demostrar que la convexidad. Srivatsan la respuesta es mejor, ya que solo utiliza el habitual (Lebesgue), la medida - que fue, probablemente, la intención original de la pregunta. (Aunque tengo una simple función de $f$...)