Ordinales definibles sobre $L_\kappa$

Question

Supongamos que $\kappa$ es un cardinal incontable, con $L_\kappa$ un conjunto admisible (es decir, un modelo de la teoría de conjuntos Kripke-Platek). Sea $<_\gamma \subseteq \kappa \times \kappa$ un buen orden de $\kappa$ (equivalentemente, de $L_\kappa$) tal que $\mathrm{ot}(<_\gamma) = \gamma$.

¿Cuál es el menor ordinal $\delta$ tal que $<_\delta$ no es definible de primer orden (es decir, en $\mathcal{L}_\in$) sobre $L_\kappa$?

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Variantes de esta pregunta incluyen:

• ¿Cuál es el menor ordinal en este caso cuando consideramos $L_\alpha$ para cualquier $\alpha$ admisible?
• ¿Cómo se ve afectada la respuesta al restringir la definibilidad, por ejemplo, a $\Delta^0_1$, o al fortalecerla a $\mathcal{L}^2_\in$?
• Todo esto es sin parámetros, ¿cambiaría sustancialmente la respuesta al permitir parámetros?

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Me temo que no sé mucho sobre $L$ o la admisibilidad, ¡así que estas preguntas pueden ser ingenuas, perdón!

Answer 1

Una buena referencia es K. Devlin Constructibilty, Lema 3.1 y la discusión siguiente, donde prueba un ordenamiento bien de $\Sigma^1_1$ de $L$ (pero puede ser adaptado para $L_k$ admisible). Entonces para todo $\delta \lt \kappa$ $\lt_\delta$ es definible con parámetros en $L_\kappa$ (y esto no puede hacerse para $\delta \gt \kappa$ ya que $\delta \notin L_\kappa$).

Answer 2

Eran ha respondido la pregunta principal y (entre paréntesis) la variación sobre $\alpha$ admisible en lugar de solo cardinales no numerables, pero también preguntaste sobre un par de otras variaciones. Restringir las definiciones $\Delta^0_1$ no hace ninguna diferencia, una vez que tienes una definición $\Sigma^0_1$, ya que $\xi<_\gamma\eta$ si y solo si $\xi,\eta<\gamma$ y $\eta\not<_\gamma\xi$ y $\xi\neq\eta; esto da una definición $\Pi^0_1$ de $\xi<_\gamma\eta$ si introduces una definición $\Sigma^0_1$ de $\eta<_\gamma\xi.

En cuanto a los parámetros, $<_\kappa$ es definible sin parámetros en $L_\kappa$, y por lo tanto $<_\delta$ también será definible sin parámetros en $L_\kappa$ siempre que $\delta<\kappa$ y $\delta$ sea definible sin parámetros en $L_\kappa. Por otro lado, si $\delta$ no es definible sin parámetros, entonces tampoco lo es $<_\delta. Más generalmente, cualquier parámetro que sea suficiente para definir $\delta$ también es suficiente para definir $<_\delta$ y viceversa.