La probabilidad condicional de vacas

Question

la cuestión es que si usted es un agricultor y seis vacas: 3 blancos, 2 negros y uno que es negro en un lado y blanco por el otro. Entonces, si usted ve a dos vacas negras (que es de 2 lados de color negro de las vacas), entonces ¿cuál es la probabilidad de que uno de ellos es el de blanco y negro de la vaca?

Aquí está mi intento de respuesta: si $M_1$ $M_2$ son los eventos que la primera o la segunda de la vaca es la mezcla de uno y $b_1$ $b_2$ indican que los lados de la primera y la segunda vaca vemos es de color negro. entonces estamos buscando para $$P(M_1 \cup M_2 \mid b_1b_2)=\frac{P(M_1b_1b_2)+P(M_2b_1b_2)}{P(b_1b_2)}$$ $$=\frac{2P(M_1)P(b_1\mid M_1)P(b_2\mid M_1b_1)}{P(M_1 \cup M_2)P(b_1b_2\mid M_1 \cup M_2)+[1-P(M_1 \cup M_2)]P(b_1b_2\mid M_1^cM_2^c)}$$

entonces $P(M_1)$ = $\frac{1}{6}$ como hay $6$ ovejas y sólo $1$ que es mixto. $P(b_1\mid M_1)= \frac{1}{2}$ , ya que puede ser uno de los dos lados y $P(b_2\mid M_1b_1)=\frac{2}{5}$, ya que esto es sólo la probabilidad de elegir una vaca negra. Por lo que el numerador es igual a $\frac{1}{15}$.

$P(M_1 \cup M_2) = P(M_1) + P(M_2)$ ya que son distintos y, entonces, es igual a $\frac{1}{3}$. A continuación, $P(b_1b_2\mid M_1 \cup M_2)$ es simplemente la probabilidad de que la otra vaca es de color negro y vemos el lado negro de la mezcla de oveja y así es $\frac{2}{5} *\frac{1}{2}$. Finalmente, $[1-P(M_1 \cup M_2)]=\frac{2}{3}$ $P(b_1b_2\mid M_1^cM_2^c)$ $\frac{1}{10}$ como es el número de todos los negros de pares sobre el número total de pares. para ponerlo todo junto. Llego $\frac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{15}}=\frac{1}{2}$, pero la respuesta es supuestamente $\approx .3$

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El hombre que escribió el papel hecho a un error en las respuestas. Debería ser $\frac{1}{2}$

Answer 1

Este problema puede ser resuelto mediante un listado de todas las posibilidades.

Si usted ve dos vacas negras, usted podría estar viendo:

• La vaca negra 1, la vaca Negra 2
• La vaca negra 1, Dos del lado de la vaca
• La vaca negra 2, Dos caras de la vaca

Por lo tanto, si usted ve a dos vacas negras, 2 de cada 3 veces que uno de ellos será el de dos caras, la de la vaca. Por lo tanto, la probabilidad es de 0.66.

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ACTUALIZACIÓN:

Creo que Johan es el adecuado. Yo interpreté la pregunta

Si usted ve dos vacas negras, ¿cuál es la probabilidad de que cualquiera de las vacas es el blanco/negro de la vaca?

Creo que la respuesta de 0.3 sería correcto si se interpreta la pregunta como esta:

Si usted ve dos vacas negras, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar los dos del lado de la vaca si tienes que elegir uno de ellos al azar?

En ese caso, la respuesta sería la probabilidad de que una de las vacas es el de dos caras, la una (0.66) veces la probabilidad de que se escoja a los dos lados de la vaca asumiendo que es allí (0.5). Que dé lugar a una probabilidad de alrededor de 0.3.

Answer 2

Si la pregunta está pidiendo la probabilidad de que cualquiera de los dos vacas es de 2 colores, tenemos

$$P(\text {1 cow is 2-coloured | both visible sides are black}) = \frac{P(\text {1 cow is 2-coloured and other is black}) \times P(\text {the black side of the 2-coloured cow is seen})}{P(\text{both visible sides are black})}=\frac{\frac{\binom{3}{0}\binom{1}{1}\binom{2}{1}\cdot\frac{1}{2}}{\binom{6}{2}}}{\frac{\binom{3}{0}\binom{1}{1}\binom{2}{1}\cdot\frac{1}{2}}{\binom{6}{2}}+\frac{\binom{3}{0}\binom{1}{0}\binom{2}{2}}{\binom{6}{2}}}=\frac{1}{2}$$

donde $$\frac{1}{15}=\frac{\binom{3}{0}\binom{1}{1}\binom{2}{1}\cdot\frac{1}{2}}{\binom{6}{2}}$$ is the probability that the $2$ visible sides are black when one is 2-coloured and the other is black and $$\frac{1}{15}=\frac{\binom{3}{0}\binom{1}{0}\binom{2}{2}}{\binom{6}{2}}$$ is the probability that the $2$ caras visibles son de color negro cuando tanto las vacas son negras (estos agotar todas las posibilidades para ambos lados visibles ser negro).

Si la pregunta está pidiendo la probabilidad de que una cierta (de los dos) vaca de 2 colores, la probabilidad es, a continuación, $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Tenga en cuenta que el número de vacas blancas es irrelevante.

Answer 3

Deje $B$ ser el caso de que vemos a los dos lados de color negro.

Ya que uno puede elegir dos vacas en ${6\choose 2}=15$ formas en que la probabilidad de que las dos vacas negras son elegidos es ${1\over15}$, y la probabilidad de que el blanco y negro de la vaca y la vaca negra es ${2\over15}$. En el último caso, la probabilidad de que en realidad vemos dos lados de color negro es sólo la mitad de eso.

Ya que no hay otras formas en las que podemos ver los dos lados de color negro tenemos $$P(B)={1\over 15}+{1\over2}\cdot{2\over15}\ .$$

Ahora, exactamente la mitad de esta probabilidad viene de avistamientos de dos vacas negras y la otra mitad a partir de los avistamientos de blanco y negro y una vaca negra. Por lo tanto, la probabilidad condicional de una vaca negro-blanco cuando vemos a los dos lados de color negro es ${1\over2}$.