He trabajado el límite de $\lim\limits_{n\to\infty} \prod\limits_{2}^{n} \left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ que es simplemente resuelto, y el resultado es $\frac{1}{2}$. Después de eso, pensé en el cálculo de $\lim\limits_{n\to\infty} \prod\limits_{2}^{n} \left(1-\frac{1}{k^3}\right)$, pero no sé cómo hacerlo. De acuerdo a W|A, el resultado es bastante agradable, pero no veo la manera de W|a se que. (Ver aquí.) ¿Hay alguna forma fácil de obtener la respuesta?
Respuestas
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Marcel Jackwerth
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El último paso de Andrew llegar \begin{align}\lim_{n\to \infty}\prod _{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^3}\right)= \frac{\cosh \frac{\sqrt{3} \pi }{2} \Gamma \left(n-\frac{i \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(n+\frac{i \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\right)}{3 \pi n^3 \Gamma^2 (n)}\end{align} era un poco ambiguas.
el uso de otro método, tenga en cuenta que \begin{align*}\Gamma(z)=\frac{1}{z e^{\gamma z}}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{k e^{\frac{z}{k}}}{z+k} \end{align*} vale para todo número complejo a $z$, excepto entero negativo, obtenemos
\begin{align}g(z)=\prod_{k=1}^{\infty} (1+\frac{z}{k})e^{\frac {z}{k}}=\frac{1}{z\Gamma(z)e^{\gamma z}}\end{align}
Así \begin{align} g(\omega)g(\omega^2)=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k+1}{k^2}e^{-\frac{1}{k}}=\frac{1}{\Gamma(\omega)\Gamma(\omega^2) e^{\gamma}}=\frac{3}{e}\prod_{k=2}^{\infty}\frac{k^2+k+1}{k^2}e^{-\frac{1}{k}} \end{align} donde $-\omega$ es la raíz de $x^3=1$
De \begin{align} \prod_{k=2}^{\infty}(1-\frac{1}{k})e^{\frac{1}{k}}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} e^{\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}=e^{\gamma -1} \end{align}
Así \begin{align} \prod_{k=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{k^3}\right)=\prod_{k=2}^{\infty}\frac{k^2+k+1}{k^2}e^{-\frac{1}{k}}\prod_{k=2}^{\infty}(1-\frac{1}{k})e^{\frac{1}{k}}=\frac{1}{3\Gamma(\omega)\Gamma(\omega^2)} \end{align} y de ahí el resultado
Por la forma similar se puede obtener $\prod_{k=2}^{\infty}(1-\frac{1}{k^n})$
Desde $$ 1-\frac1{k^3}=\frac{(k-1)(k+\frac12+\frac{\sqrt3}2i)(k+\frac12-\frac{\sqrt3}2i)}{k^3} $$ y $$ k+a=\frac{\Gamma(k+r+1)}{\Gamma(k+a)}, $$ cada término del producto es una relación de las funciones Gamma. También hay una fórmula $$ \Gamma \left(\frac{1}{2}-i y\right) \Gamma \left(\frac{1}{2}+i y\right)= \pi \text{sech}\pi y. $$ En particular, para el final de los términos del producto $$\frac{1}{\Gamma \left(\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}\right) \Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{\cosh \frac{\sqrt{3} \pi }{2}}{\pi }. $$ La multiplicación de los coeficientes y cancelando los mismos términos que conduce a una fórmula para el producto parcial: $$ \prod _{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^3}\right)= \frac{\cosh \frac{\sqrt{3} \pi }{2} \Gamma \left(n-\frac{i \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(n+\frac{i \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\right)}{3 \pi n^3 \Gamma^2 (n)}. $$ Tomando el límite de $n\to\infty$ da el resultado deseado.
