Esta pregunta es aparentemente muy simple, pero no puedo encontrar una respuesta a ella, así que esperaba que alguien pudiera aclararme.
¿Son las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) sólo válidas para un espacio-tiempo de 3+1 dimensiones?
He leído en alguna parte, que no puedo recordar o encontrar, que hubo problemas con el EFE en una dimensión 2+1... ¿Por qué sería eso?
¿Qué tal 1+1?
No hay nada "malo" con las ecuaciones de campo de Einstein en $2+1$ como se indica en los comentarios, pero tienen un comportamiento interesante y significativamente restringido en $2+1$ dimensiones.
Por ejemplo, la página de Wikipedia a la que se refiere Olof en los comentarios dice que en $2+1$ cada solución de vacío es localmente $ \mathbb R^{2,1}$ , $ \mathrm {AdS_3}$ o $ \mathrm {dS}_3$ . Aquí está el porqué. En $d+1$ con $d \neq 1$ las ecuaciones de campo del vacío (aquellas con $T_{ \mu\nu } =0$ ) puede ser manipulado para mostrar que $$ R_{ \mu\nu } = \frac {R}{d+1}g_{ \mu\nu } $$ Por otro lado, se puede mostrar (ver Weinberg Gravitación y cosmología eq. 6.7.6) que en $2+1$ el tensor de Riemann satisface $$ R_{ \lambda\mu\nu\kappa } = g_{ \lambda\nu } R_{ \mu\kappa } - g_{ \lambda\kappa }R_{ \mu\nu } - g_{ \mu\nu }R_{ \lambda\kappa } + g_{ \mu\kappa } R_{ \lambda\nu } - \frac {1}{2}(g_{ \lambda\nu }g_{ \mu\kappa } - g_{ \lambda\kappa }g_{ \mu\nu })R $$ y la combinación de estos resultados da $$ R_{ \lambda\mu\nu\kappa } = \frac {1}{6}(g_{ \lambda\nu }g_{ \mu\kappa }-g_{ \lambda\kappa }g_{ \mu\nu })R $$ que es precisamente el tensor de Riemann para un espacio tiempo de máxima simetría en $2+1$ que da el resultado.
Noten que este comportamiento está en marcado contraste con el comportamiento del vacío en $3+1$ . Por ejemplo, tomemos la región del vacío fuera de un cuerpo masivo esféricamente simétrico en $3+1$ (como un agujero negro). Esta región no es plana, pero en $2+1$ con la constante cosmológica de desaparición cualquier región de vacío fuera de un cuerpo masivo sería. Bastante extraño.
La Josfísica ya ha dado una buena respuesta mostrando que en la gravedad de Einstein de 2+1 dimensiones cualquier métrica es localmente equivalente a una métrica de curvatura constante. Como el dilatón mencionó en un comentario, esto en particular significa que no hay excitaciones locales.
La pregunta actualizada también se refiere a las dimensiones 1+1. En este caso la respuesta es aún más simple: el tensor de Einstein de 1+1 dimensiones $R_{ \mu\nu } - \frac {1}{2}g_{ \mu\nu }R$ se desvanece de forma idéntica. Por lo tanto, la acción de Einstein-Hilbert $ \int d^2x \sqrt {-g}R$ es un término superficial.
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