Es el cierre de $ X \cap Y$ igual a $\bar{X} \cap \bar{Y}$?

Question

$U$ es un espacio topológico. $X$ es un subconjunto abierto de $U$, e $Y$ es un subconjunto cerrado. Deje $Z = X \cap Y$. Qué $\bar{Z} = \bar{X} \cap \bar{Y}$.

Aquí, $\bar{X}$ denotar el cierre de $X$, y $\bar{Y}$, $\bar{Z}$ respectivamente. (Lo, $\bar{Y}=Y$.)

Está claro que $\bar{Z} \subseteq \bar{X} \cap \bar{Y}$, pero es cierto en la dirección inversa?

Answer 1

Deje $X$ ser abierto y $Y = U \smallsetminus X$. A continuación,$X \cap Y = \emptyset$. Sin embargo, $\overline{X} \cap Y = \partial X$ no se vacía en general. Tome $X$ a ser un open de bola en $\mathbb{R}^n$, por ejemplo.

Answer 2

Una palabra en la intuición. Al menos para la métrica de los espacios (y en general de primera contables espacios), usted puede pensar de $\bar{X}$ como la colección de todos los puntos que son los límites de las secuencias de puntos en $X$ (y, en general, se puede sustituir "secuencia" con "net" o "filtro"). A continuación, $\overline{X \cap Y}$ es, obviamente, contenida en $\overline X$ $\overline Y$ (como las secuencias de puntos en $X \cap Y$ son secuencias de puntos en $X$ y también secuencias de puntos en $Y$), pero por otro lado, un punto en $\bar{X} \cap \bar{Y}$ es

• un límite de una secuencia de puntos en $X$ y
• un límite de una secuencia diferente de puntos en $Y$

y no hay ninguna manera obvia de utilizar cualquiera de estas secuencias para cocinar una secuencia de puntos en $X \cap Y$; las dos secuencias anteriores pueden ser distintos, y en el hecho de $X \cap Y$ puede estar vacío mientras que $\bar{X} \cap \bar{Y}$ no está vacía. Con eso en mente, no es difícil encontrar un contraejemplo.