¿Colectores de hyperKahler viven en familias de quaternionic Kahler?

Question

Una geometría pregunta que yo pensaba más en serio hace un par de años... pensaba que iba a ser una buena primera pregunta para el MO.

Soy consciente de que hay un número de Torelli tipo de teoremas se ha demostrado que para compact HyperKahler colectores. También, creo que Y. Andre ha considerado algunas familias de HyperKahler (o holomorphic simpléctica) colectores en el papel.

Pero, cuando veo módulos problema estudiado, los datos de un HyperKahler colector parece incluir una preferido estructura compleja. Por ejemplo, un HyperKahler colector en lugar de considerarse como una holomorphic simpléctica colector. Soy consciente de varias equivalencias, pero sin duda hay diferentes cantidades de datos uno puede elegir como parte de un módulos de problema.

Nunca he visto a las familias de HyperKahler colectores, en el que la distinción entre hyperKahler rotaciones y otra variación es adecuadamente distinguido. Aquí es lo que tengo en mente, para un "quaternionic-Kahler familia de HyperKahler colectores:

Fijar un quaternionic-Kahler base del espacio de $X$, con twistor paquete $Z \rightarrow X$. Por lo tanto las fibras $Z_x$ a $Z$ más de $X$ se acaba de Riemann esferas $P^1(C)$ y $Z$ tiene un integrable estructura compleja.

Una familia de hyperKahler colectores de más de $X$ se debe (creo) un fibration de los complejos colectores de $\pi: E \rightarrow Z$, tal que:

1. Cada fibra de $E_z = \pi^{-1}(z)$ es un hyperKahler colector $(M_z, J_z)$ con distinguidos integrable estructura compleja de $J_z$.
2. Para cada punto de $x \in X$, vamos a $Z_x \cong P^1(C)$ ser el twistor de fibra. Entonces la familia $E_x$ de hyperKahler colectores con estructura compleja de más de $P^1(C)$ (isomorfo a) la familia $(M, J_t)$ obtenidos mediante la fijación de un único hyperKahler colector, y dejar que la compleja estructura varían en el $P^1(C)$ de posibles estructuras complejas. (Creo que esto se llama hyperKahler de rotación).

En otras palabras, el real hyperKahler el colector debe depender sólo de un punto en el quaternionic Kahler base del espacio de $X$, pero la compleja estructura de "girar" en la twistor cubrir $Z$.

Este tipo de familia parece muy natural para mí. Puede cualquier profesional de los geómetras que mi definición precisa, dar una referencia, o alguna razón de por qué las familias son una mala idea? Yo estaría feliz de ver a esas familias, incluso para hyperKahler tori (que se me había interesado en!)

Answer 1

Lo que usted sugiere, tiene sentido. Se propone sustituir el $P^1$ de fibra por el twistor espacio de un HK colector de M, por lo que el total sería de espacio no sólo mostrar por separado las estructuras complejas de M, pero permitir las deformaciones de M para ser parametrizadas por X. creo que la pregunta real es si existen sensible ejemplos más de un compacto QK base como X$=S^4$ en el que una constante de la elección de la estructura compleja en la variación de HK colectores es, por tanto, no es posible. No estoy seguro. El problema es que la construcción se ve un poco casi imposible, y la experiencia dicta que es más natural para buscar paquetes cuyas fibras son de hong KONG. En este sentido, su idea está muy cerca de un conocido (pero en cierto sentido más simple) de la construcción que va bajo el título "Swann paquete" o "C mapa".

Permítanme añadir dos comentarios en apoyo de su pregunta. En primer lugar, el concepto de un colector foliada por HK colectores (como $T^4$ o K3) es muy potente. Esto es más familiar en el trabajo, en especial holonomy, pero he aquí una más clásica de la construcción: el tensor de curvatura en cada punto de una de Riemann 4-colector puede ser usado para construir un singular Kummer superficie y un asociado de K3 (la intersección de 3 quadrics en $P^5$), pero la compleja estructura es fija por lo que no twistorial. Segundo, huyendo de los cuaterniones, uno ve twistor espacio de fibras en la siguiente situación: cada una de las fibras de la twistor espacio $SO(2n+1)/U(n)$ parametrización un un.c.s.'s en la esfera $S^{2n}$ puede ser identificado con el twistor espacio de $S^{2n-2}$!