Estoy leyendo Exploratorio de la Teoría de Galois por Juan Tragar. En la página 123 se da el siguiente comentario / alterno de la prueba del teorema fundamental de los polinomios simétricos:
Deje $K$ ser un campo y $L$ a ser el campo de funciones racionales $K(X_1,\dots,X_n)$. Ahora, considere el subcampo $K(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ generado más de $K$ de los de primaria simétrica polinomios. A continuación, $L$ es la división de campo de la $X^n − \sigma_1X^{n−1} +\cdots +(−1)^n\sigma_n$, ya que este polinomio es igual al producto $(X − X_1)(X − X_2) \cdots (X − X_n)$. El grupo de Galois debe ser un subgrupo de $S_n$; por otro lado, cada permutación en $S_n$ da una diferente automorphism de $L$$K(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$. Por lo tanto $K(X_1,\dots,X_n)/K(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ es de Galois con grupo de $S_n$, e $K(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ es el campo fijo de $S_n$. Para realizar el último paso para decir que cada polinomio simétrico es un polinomio en la primaria simétrica funciones, es decir, que cada polinomio simétrico radica no sólo en el $K(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ pero $K[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$ – requiere una noción de integralidad más allá del alcance de este texto.
Podría alguien explicar cómo terminar esta prueba? Estoy familiarizado con la forma de anillo extensiones pero no estoy seguro de qué hacer con él.
