Podemos enlazado desde arriba sub-soluciones de las ecuaciones integrales de Volterra? (No lineal de Gronwall del Lema)

Question

Gronwall del lema dice lo siguiente. Suponga que $v\in C^0([t_0, T])$ es una función no negativa. Si $u \in C^0([t_0, T])$ satisface la integral de la desigualdad

$$u(t) \le c + \int_{t_0}^t u(s)v(s)\, ds,\qquad t \in [t_0, T]$$

donde $c\in\mathbb{R}$, luego

$$u(t) \le c \exp\left(\int_{t_0}^t v(s)\, ds\right), \qquad t \in [t_0, T].$$

En otras palabras, sub-soluciones de los lineales de la ecuación integral

$$w(t)=c+ \int_{t_0}^t v(s)w(s)\, ds, \qquad t \in [t_0, T]$$

están dominados por las soluciones de la ecuación, siempre que el coeficiente de $v$ es no negativa.

Pregunta ¿Qué podemos decir acerca de la general de la ecuación de Volterra $$\tag{1}\ w(t) = c + \int_0^t F(s, w(s))\, ds,\qquad t \in [0, T]?$$ Bajo qué condiciones en $F$ es un sub-solución de (1) dominado por una solución?

Answer 1

Esta no es una respuesta sino una (larga) comentario a ¿la respuesta. En pocas palabras: yo creo que tenemos que añadir una condición de Lipschitz en $F$ (hipótesis 2 a continuación). Lo hizo, probablemente, supone implícitamente.

He aquí una posible manera de argumentar. Asumir que:

1. para todos los $s\in[0, T]$, uno tiene que $x\le y\Rightarrow F(s, x)\le F(s, y)$;
2. existe una constante $L>0$ tal que $\lvert F(s, x)-F(s, y)|\le L\lvert x-y\rvert$.$^{[1]}$

Vamos

$$u(t)\le c+\int_0^tF(s, u(s))\, ds,\qquad w(t)=c+\int_0^tF(s, w(s))\, ds.$$

Pretendemos que $$\tag{1}u(t)\le w(t).$$ Prueba. Consideremos el conjunto $$ X=\left\{t\[0, T]\ :\ u(t)-w(t)>0\right\}.$$ Supongamos por contradicción que $X$ es no vacío y el conjunto de $$ t_0=\inf X.$$ Desde $u$ es un subsolution tenemos que $t_0>0$. Por la hipótesis 1, tenemos que $$ F(s, u(s))-F(s, w(s))\le 0\qquad \forall s\[0, t_0]. $$ Así, por $t\in X$ tenemos por la hipótesis 2 \begin{equation} \begin{split} 0<u(t)-w(t)&\le \int_0^tF(s, u(s))-F(s, w(s))\,ds \\ &\le \int_{t_0}^t F(s, u(s))-F(s, w(s)\, ds \\ &\le L\int_{t_0}^tu(s)-w(s)\, ds, \end{split} \end{equation} y Gronwall la desigualdad se da la contradicción $0<u(t)-w(t)\le 0$. $\square$

No sé si la condición 2 puede ser debilitado, pero sin duda no se puede quitar por completo. Debe tener al menos una singularidad resultado de la integral de la ecuación, y la condición 2 da un resultado (que es el estándar de Picard teorema de existencia y unicidad).

Por ejemplo, considere este problema:

$$w(t)=\int_0^t \big(w(s)\big)^{1/3}\, ds.$$

Sabemos que existen más de una solución para esta ecuación, y por supuesto, cada solución es un subsolution. Si nuestra afirmación se cumple en este caso tendríamos un par de soluciones distintas en $w_1, w_2$ las desigualdades $w_1(t) \le w_2(t)$$w_2(t)\le w_1(t)$, $w_1(t)=w_2(t)$, una contradicción.

Abierta la cuestión sigue siendo, y esto la necesidad de la monotonía en la condición de $F(s, \cdot)$. Esto es intuitivamente razonable, sino que debe ser probado.

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$^{[1]}$ Es suficiente para asumir esas condiciones para casi todos los valores de $s$.

Answer 2

Una condición suficiente es que cada función $F(s,\cdot)$ es no decreciente. Que es:

Para cada $s$ en $[\tau,T]$, $v\le v'$ implica $F(s,v)\le F(s,v')$.

En todos los casos, esta condición es probablemente también sea necesario.