Mostrar que $T$ es continua

Question

Tengo una pregunta acerca de cómo respuesta a:

Dado un espacio de Banach X e $T: X \rightarrow X^{*}$ un operador lineal tal que $\langle Tx,x\rangle \geq 0$ todos los $x \in X$. Mostrar que $T$ es continua.

Sé que este operador envía puntos en lineal continuo funcionales, creo que es una forma positiva, pero, en realidad yo no sé cómo empezar mi prueba.

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Uno puede hacer uso de la Cerrada Teorema de la Gráfica, de la siguiente manera.

Deje $(x_n)$ ser una secuencia en $X$ tal que $x_n\to 0$ $Tx_n$ tiene un límite de $\phi\in X^*$. Tenemos que mostrar que $\phi=0$.

Observar que para cualquier $x\in X$ y todos los $n\in\mathbb N$, tenemos $$\langle T(x_n+x),x_n+x\rangle\geq 0\, . $$

Ahora, expanda el "producto" (usando la linealidad de $T$): esto le da $$\langle T(x_n+x),x_n+x\rangle =\langle Tx_n,x_n\rangle+\langle Tx_n, x\rangle +\langle Tx,x_n\rangle+\langle Tx,x\rangle \, .$$

Por supuesto, en la secuencia de $(x_n)$, se deduce que $$ \langle T(x_n+x),x_n+x\rangle\to \langle \phi,x\rangle+\langle Tx, x\rangle\, .$$ Así tenemos $$\forall x\in X\;:\; \langle \phi,x\rangle\geq -\langle Tx,x\rangle\, .$$

La sustitución de $x$ $-x$ y desde $\langle T(-x),-x\rangle =\langle Tx,x\rangle$, también conseguimos $-\langle \phi,x\rangle\geq -\langle Tx,x\rangle$, es decir,$\langle \phi,x\rangle\leq \langle Tx,x\rangle$. Por lo tanto: $$\forall x\in X\;:\; \vert\langle \phi,x\rangle\vert\leq \langle Tx,x\rangle\, . $$

Ahora, reemplace $x$ por $tx$, $t>0$: desde $\langle T(tx),tx\rangle=t^2\langle Tx,x\rangle$, esto le da $$\vert \langle \phi,x\rangle\vert\leq t\,\langle Tx,x\rangle\, .$$ Dejando $t\to 0^+$, se deduce que el $\langle \phi,x\rangle=0$ todos los $x\in X$, según se requiera.