Un paso en el cálculo de la cohomology anillo de $\mathbb{C}P^n$

Question

En la página 250 de Hatcher Topología Algebraica, que utiliza una determinada corolario para el cálculo de la cohomology anillo de $\mathbb{C}P^n$. La sección pertinente a continuación para su conveniencia:

Entiendo que la prueba excepto por su declaración de que una vez que se puede deducir $H^{2i}(\mathbb{C}P^n)$ es generado por $\alpha^i$ todos los $i<n$. El caso base sigue trivialmente de la inducida por el isomorfismo entre el$H^2(\mathbb{C}P^1)$$H^2(\mathbb{C}P^2)$. He intentado trabajar con todo, después de eso, pero al final llego a $H^{2i} (\mathbb{C}P^n)$ es generado por $\alpha^i$ todos los $i<n-1$, no $n$, como Hatcher, dice. Yo realmente no veo cómo se podría utilizar el hecho de que $H^2(\mathbb{C}P^2)$ es generado por $\alpha$ que $H^4(\mathbb{C}P^3)$ es generado por $\alpha^2$. ¿Cómo hace uno para ver esto?

Answer 1

Para tomar el ejemplo al final de tu pregunta, el hecho de que $H^4(\mathbb CP^3)$ es generado por $\alpha^2$ se deduce del hecho (parte de la hipótesis de inducción) que $H^4(\mathbb CP^2)$ es generado por $\alpha^2$. Es por eso que Hatcher primero, recuerda que la inclusión de $\mathbb CP^2$ $\mathbb CP^3$ induce un isomorfismo de cohomology hasta la dimensión de $4$, por lo que el resultado de $\mathbb CP^2$ (incluyendo $H^4$) está disponible al probar el resultado para $\mathbb CP^3$. (Análogo comentarios solicitar general $n$ en lugar de $3$.)