Dónde está el "hilo" de un río?

Question

Los abogados hablan de la "rosca" de un río. Cuando el límite entre dos condados o estados es un río, es generalmente el "hilo" de los del río, un camino que discurre por el centro del río. (En Inglaterra, sospecho que esto se ha aplicado principalmente a los límites entre los condados.) Si se dibuja una línea desde un punto en un banco a un punto correspondiente en la orilla opuesta, se puede tomar el punto medio a ser un punto en el "hilo", pero que el punto en el banco opuesto es el punto correspondiente cuando el río serpentea de forma errática, como hacen todos (aunque algunos más que otros)? Me inclino a dudar de que los abogados claramente han respondido a esto, y a la sospecha de que algunos de los componentes sólidos de cualquier respuesta razonable puede ser aportado sólo por los matemáticos.

Las excepciones incluyen:

• El límite norte de Kentucky. La totalidad de el Río de Ohio en Kentucky; los estados del norte de la misma, Ohio, Indiana e Illinois, empezar en el banco del norte. Creo que esto se remonta a una ley del Parlamento después de los Siete Años de Guerra en 1763, declarando de Ohio a ser el límite sur de Canadá, que se convirtió en una colonia inglesa en ese momento. (Esta es la que se alude en el idioma acerca de un "ajuste instrumento" en la Declaración de la Independencia.)
• El límite entre Delaware y Nueva Jersey, que pone el Río Delaware completamente en el estado de Delaware, por lo que de Nueva Jersey comienza en la ribera occidental.
• El límite entre Vermont y New Hampshire (seguramente los más coloridos de la historia de la extraña política en la historia de la U. S. A., si no del Universo). El Río Connecticut está en New Hampshire, Vermont comienza en la ribera occidental. El 20 de julio de 1764, el Rey Jorge III decretó este después de un escandalosamente ex-parte de la audiencia, con el posterior resultado que la mitad de la Constitución de Vermont antes de su enmienda-en-su-totalidad, en 1793, se muestra una lista de quejas contra el gobierno de Nueva York, y el posterior resultado de que en un juicio que duró a partir de 1915 a través de 1933, un tribunal federal terminó la defensa de la decisión del Rey.

Pero docenas de límites entre los estados de la U. S. A. seguir el "hilo" de un río, si no me equivoco.

Answer 1

La notación

Deje $d(x,y)$ ser la distancia entre el $x$ $y$ cualquier $x,y \in \mathbb{R}^3$.

Deje $d(x,S) = \inf_{y \in S} d(x,y)$ cualquier $x \in \mathbb{R}^3$$S \subseteq \mathbb{R}^3$.

Deje $d(S,T) = \inf_{(x,y) \in S \times T} d(x,y)$ cualquier $S,T \subseteq \mathbb{R}^3$.

Una posible definición de un río del hilo

No sea vacío cerrado conjuntos disjuntos $A,B \in \mathbb{R}^3$ [correspondientes a los dos bancos].

Deje $T = \{ x : d(x,A) = d(x,B) \}$ cualquier $r \in [0,1]$.

A continuación, $T$ puede ser considerado como el medio de límite entre el$A$$B$.

Las propiedades de este hilo

Las regiones

Deje $A' = \{ x : d(x,A) < d(x,B) \}$.

Deje $B' = \{ x : d(x,B) < d(x,A) \}$.

A continuación, $A',B'$ son claramente abierto desde $d$ es continua y, por tanto, $T$ es cerrado.

La Más Cercana-Punto

Para cualquier $x \in \mathbb{R}^3$:

$d(x,A) = d(x,y)$ algunos $y \in A$ porque:

Deje $(y_n)$ ser una secuencia en $A$ tal que $d(x,y_n) \to d(x,A)$$n \to \infty$.

A continuación, $(y_n)$ es limitado y tiene algunos de racimo punto de $y$ [por Bolzano-Weierstrass].

Por lo tanto $y \in A$ [debido a $A$ es cerrado].

[Esto significa que hay un punto en $A$ más cercano a $x$. Asimismo, para $B$.]

La Desunión De Separación

$T,A',B'$ son claramente distintos.

$A \subseteq A'$ porque:

Para cualquier $x \in A$:

Si $d(x,B) = 0$:

Deje $y \in B$ tal que $d(x,y) = d(x,B)$ [por la más Cercana-Point].

A continuación,$x = y \in B$.

Contradicción.

Por lo tanto, $d(x,B) > 0 = d(x,A)$ y, por tanto,$x \in A'$.

Del mismo modo $B \subseteq B'$ y, por tanto, $T$ es disjunta de ambos $A$$B$.

Sin agujeros

Para cualquier esfera topológica $C \subseteq A'$ tener ningún punto de $B$ en su interior:

Deje $D$ ser el topológica de la bola correspondiente a $C$.

Para cualquier $x \in D$:

Deje $y \in B$ tal que $d(x,y) = d(x,B)$ [por la más Cercana-Point].

Deje $L$ ser el segmento de la línea de$x$$y$.

Deje $z = L \cap C$ [que existe debido a $B$ está fuera de $C$].

A continuación, $d(x,A) \le d(x,z) + d(z,A) < d(x,z) + d(z,B) \le d(x,z) + d(z,y) = d(x,y)$

$= d(x,B)$.

Por lo tanto,$D \subseteq A'$.

Conectado A La Separación

Si $A$ está conectado, a continuación, $A'$ es la ruta de acceso conectado porque:

Para cualquier $x \in A'$:

Deje $y \in A$ tal que $d(x,y) = d(x,A)$ [por la más Cercana-Point].

Deje $L$ ser el segmento de la línea de$x$$y$.

Si $z \in B'$ algunos $z \in L$:

$d(x,B) \le d(x,z) \le d(x,y) = d(x,A)$.

Contradicción.

Por lo tanto,$L \subseteq A'$.

Por lo tanto $L \cup A$ está conectado.

Por lo tanto, $A'$ está conectado y, por tanto, trayectoria-conectado porque $A'$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^3$.

Por lo tanto, si $A,B$ están conectados, a continuación, $A',B'$ será trayectoria-conectado [y todo el espacio $\mathbb{R}^3$ se divide exactamente en dos piezas separadas por $T$]. Creo pero no puede demostrar que $T$, en este caso estar conectado. No es necesariamente un camino conectado a; $T$ puede ser el copo de nieve de Koch si $A,B$ son los de dentro y de fuera de ella, en cuyo caso no hay dos puntos en $T$ trayectoria-conectado.

Comentarios

$x \mapsto \dfrac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ es una función continua que es $0$ exactamente $A$ $1$ exactamente $B$ $\frac{1}{2}$ exactamente $T$. Ver Urysohn función de una generalización.

Si bien $A$ o $B$ es acotado, entonces $d(A,B) > 0$. De lo contrario, es posible que $d(A,B) = 0$ a pesar de $A,B$ están cerrados y disjuntos. Pero esto no tiene nada que ver con el río hilo de modo que pertenece en esta sección.

Si esta definición es "utilizado" en la vida real yo no sé.