¿Por qué el determinante de una matriz con entradas enteras debe ser un número entero?

Question

¿Por qué el determinante de una matriz con entradas enteras debe ser un número entero?

Nota: Sé lo que es un determinante de una matriz, no sé cómo explicar esta pregunta.

¿Es porque si la matriz está hecha con enteros el determinante tiene que ser también un entero?

Answer 1

Una de las diversas fórmulas para el determinante de un $n\times n$ matriz $A$ es $$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i} $$ donde como siempre $A_{i,j}$ denota la entrada de $A$ en el $i$ la fila y $j$ columna, y $\mathrm{sgn}(\sigma)$ es $+1$ o $-1$ , en función de $\sigma$ . Así, si cada $A_{i,j}$ es un número entero, entonces $\det(A)$ no es más que una enorme suma de productos de números enteros, y por lo tanto es un número entero en sí mismo.

Answer 2

Esto se debe precisamente a que $\mathbb{Z}$ es un anillo - es cerrado bajo adición y multiplicación. Es decir, cada vez que se multiplican dos enteros, se obtiene un entero. Cada vez que sumas dos enteros, obtienes un entero. Así que si las entradas de tu matriz son todas enteras, el determinante es sólo una suma de productos de enteros.